Lernzettel: Analyse du second degré : racines, forme canonique et signe

📋 Plan du Cours

1. Forme factorisée et racines réelles
2. Discriminant et forme canonique
3. Variations et sommet de la parabole
4. Équations du second degré selon le discriminant
5. Factorisation d’un trinôme selon le discriminant
6. Signe d’un trinôme du second degré

📖 1. Forme factorisée et racines réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine réelle : Une racine réelle d’un polynôme f est un réel x0 tel que f(x0)=0, donc x0 est une solution de l’équation f(x)=0.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un polynôme du second degré est son écriture sous la forme a(x-x1)(x-x2) à partir de ses racines.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0, x0 est une racine réelle exactement quand f(x0)=0.
• Si f admet deux racines distinctes x1 et x2, alors f(x)=a(x-x1)(x-x2).
• La factorisation dépend des racines réelles : si elles ne sont pas réelles, on ne peut pas factoriser dans ℝ.
• Une racine réelle correspond à l’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses (y=0).

💡 Astuce mémo

Racine = zéro : f(x0)=0 ⇒ (x-x0) apparaît dans la factorisation.

📖 2. Discriminant et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant ∆ d’un polynôme ax^2+bx+c est le réel ∆=b^2-4ac qui permet de déterminer le nombre de solutions réelles.
• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré est l’écriture f(x)=a(x-α)^2+β, où α et β sont déterminés à partir de a,b,c.

📝 Points essentiels

• Le discriminant est ∆=b^2-4ac pour f(x)=ax^2+bx+c.
• On peut écrire f(x)=a(x-α)^2+β avec α=−b/(2a) et β=f(α).
• La valeur β correspond à la valeur du polynôme au sommet : β=f(α).
• Le signe de ∆ indique si les racines sont distinctes, confondues ou inexistantes dans ℝ (via les sections suivantes).

💡 Astuce mémo

∆ = b^2−4ac : c’est le “test” du nombre de racines réelles.

📖 3. Variations et sommet de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le sommet S d’une parabole associée à f(x)=ax^2+bx+c a pour coordonnées (α;β), avec α=−b/(2a) et β=f(α).
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie d’une parabole de fonction f(x)=ax^2+bx+c est la droite d’équation x=α.

📝 Points essentiels

• Si a>0, f est décroissante sur ]−∞;α[ puis croissante sur [α;+∞[, donc f admet un minimum en x=α.
• Si a<0, f est croissante sur ]−∞;α] puis décroissante sur [α;+∞[, donc f admet un maximum en x=α.
• Dans tous les cas, le sommet a pour coordonnées (α;β) avec α=−b/(2a) et β=f(α).
• La parabole est tournée vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0.

💡 Astuce mémo

a>0 ⇒ minimum au sommet ; a<0 ⇒ maximum au sommet.

📖 4. Équations du second degré selon le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est une équation de la forme ax^2+bx+c=0 avec a≠0.
• Solutions selon ∆ : Le nombre et le type des solutions réelles d’une équation ax^2+bx+c=0 dépendent du discriminant ∆=b^2-4ac.

📝 Points essentiels

• Si ∆>0, l’équation ax^2+bx+c=0 admet deux solutions réelles : x1=(−b−√∆)/(2a) et x2=(−b+√∆)/(2a).
• Si ∆=0, l’équation admet une unique solution réelle double : x0=−b/(2a).
• Si ∆<0, l’équation n’a pas de solution réelle.
• Quand ∆=0, les deux racines se confondent : la factorisation devient un carré (x−x0)^2 dans ℝ.

💡 Astuce mémo

∆>0 : deux racines ; ∆=0 : une racine double ; ∆<0 : aucune racine réelle.

📖 5. Factorisation d’un trinôme selon le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une expression P(x)=ax^2+bx+c avec a≠0.
• Racines et factorisation : La factorisation d’un trinôme du second degré dans ℝ dépend du nombre de racines réelles déterminées par ∆.

📝 Points essentiels

• Si ∆>0, P(x)=a(x-x1)(x-x2) avec deux racines distinctes x1 et x2.
• Si ∆=0, P(x)=a(x-x0)(x-x0), donc P(x)=a(x-x0)^2 avec x0=−b/(2a).
• Si ∆<0, P ne se factorise pas dans ℝ car il n’a pas de racines réelles.
• La forme factorisée utilise toujours les racines réelles : sans racines réelles, pas de produit de facteurs linéaires dans ℝ.

💡 Astuce mémo

Même logique que pour les équations : ∆>0 produit de deux facteurs ; ∆=0 carré ; ∆<0 pas de factorisation dans ℝ.

📖 6. Signe d’un trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe d’un trinôme : Le signe d’un trinôme P(x)=ax^2+bx+c est la valeur positive, nulle ou négative de P(x) selon x.
• Racines du trinôme : Les racines d’un trinôme sont les valeurs de x qui annulent P(x), et elles découpent la droite réelle pour étudier le signe.

📝 Points essentiels

• Si ∆>0, P(x) a le signe de a à l’extérieur des racines et le signe (−a) entre les racines.
• Si ∆=0, P(x) a le signe de a pour tout x≠x0, et P(x0)=0.
• Si ∆<0, P(x) garde le signe de a pour tout x∈ℝ (pas de changement de signe).
• Les racines (distinctes ou confondues) sont les points où P(x) vaut 0 et où le signe peut changer (cas ∆>0).

💡 Astuce mémo

∆>0 : alternance ; ∆=0 : touche l’axe ; ∆<0 : ne coupe jamais l’axe.

📊 Tableaux de synthèse

Racines et factorisation selon le discriminant

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre ∆=b^2-4ac avec −∆ : le discriminant est exactement b^2−4ac.
2. Mélanger α et β : α=−b/(2a) alors que β=f(α).
3. Croire que ∆<0 donne une factorisation dans ℝ : sans racines réelles, on ne peut pas écrire a(x-x1)(x-x2).
4. Oublier que pour ∆=0, la racine est double : le signe ne change pas au point x0 (P(x) garde le signe de a pour x≠x0).

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier une racine réelle x0 d’un polynôme f : vérifier f(x0)=0.
2. Savoir écrire la forme factorisée a(x-x1)(x-x2) quand ∆>0 et la forme a(x-x0)^2 quand ∆=0.
3. Savoir calculer le discriminant ∆=b^2-4ac et en déduire le nombre de solutions réelles.
4. Savoir donner les solutions de ax^2+bx+c=0 selon le signe de ∆ (formules avec √∆ et cas ∆=0).
5. Savoir déterminer α=−b/(2a) et β=f(α) puis placer le sommet S(α;β) et l’axe x=α.
6. Savoir conclure les variations : minimum en α si a>0, maximum en α si a<0.
7. Savoir établir le signe de P(x) selon ∆ : signe de a à l’extérieur (∆>0), signe de a sauf en x0 (∆=0), signe de a partout (∆<0).