Lernzettel: Analyse du trinôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Forme canonique et parabole
3. Équation du second degré et discriminant

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction trinôme : Une fonction polynôme du second degré est une fonction $P(x)=ax^2+bx+c$ définie sur $\mathbb R$ avec $a,b,c\in\mathbb R$ et $a\neq0$.
• Forme développée : La forme développée d’un trinôme est l’écriture $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un trinôme est l’écriture $a(x-x_1)(x-x_2)$ correspondant aux racines réelles $x_1$ et $x_2$.

📝 Points essentiels

• Un trinôme est un polynôme de degré 2 car il s’écrit toujours $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.
• Une forme factorisée s’obtient quand on peut exprimer le polynôme comme $a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Le signe du coefficient $a$ influence la forme de la parabole (ouverture vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$).

💡 Astuce mémo

Degré 2 = carré : $ax^2+bx+c$ (et $a\neq0$).

📖 2. Forme canonique et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Pour $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$, il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.
• Sommet de la parabole : Le sommet $S(\alpha;\beta)$ d’une parabole donnée par $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est le point de coordonnées $(\alpha,\beta)$.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie d’une parabole $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est la droite d’équation $x=\alpha$.

📝 Points essentiels

• Dans la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$, on lit directement le sommet $S(\alpha;\beta)$ et l’axe $x=\alpha$.
• Pour passer en forme canonique, on complète le carré afin d’éliminer le terme en $x$ à l’intérieur du carré.
• Si $a>0$ la parabole est ouverte vers le haut, et si $a<0$ elle est ouverte vers le bas.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré donne $\alpha=-\frac{b}{2a}$ (centre du carré) et $\beta=f(\alpha)$ (valeur au sommet).

📖 3. Équation du second degré et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$, et il décide du nombre de solutions réelles de $ax^2+bx+c=0$.
• Racines du polynôme : Les racines de $ax^2+bx+c=0$ sont les valeurs de $x$ qui annulent le polynôme, c’est-à-dire les solutions de l’équation.
• Forme factorisée de la solution : Quand $\Delta>0$, la factorisation associée à $ax^2+bx+c$ s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec des racines distinctes.

📝 Points essentiels

• On a $ax^2+bx+c=0$ équivalent à $(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{\Delta}{4a^2}$, d’où la valeur de $\left(x+\frac{b}{2a}\right)$ selon le signe de $\Delta$.
• Si $\Delta>0$, l’équation admet deux solutions $x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, l’équation admet une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$, et si $\Delta<0$ aucune solution réelle n’existe.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ positif → 2 racines, $\Delta$ nul → 1 racine double, $\Delta$ négatif → aucune solution réelle.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $\beta=P(\alpha)$ avec $\beta=f(0)$ : dans la forme canonique, $\beta$ correspond à la valeur au sommet.
2. Oublier la condition $a\neq0$ : sans $a\neq0$, ce n’est plus un polynôme du second degré.
3. Inverser les signes des solutions : $x_1$ correspond à $-b+\sqrt\Delta$ et $x_2$ à $-b-\sqrt\Delta$ dans $\frac{\cdot}{2a}$.
4. Penser que $\Delta<0$ donne quand même deux solutions en $\mathbb R$ : le cours indique explicitement absence de solutions réelles.
5. Croire que la forme factorisée est valable aussi pour $\Delta\le0$ : la factorisation en deux facteurs réels n’apparaît que quand $\Delta>0$.
6. Mélanger l’axe de symétrie $x=\alpha$ avec l’ordonnée à l’origine : l’axe dépend de $\alpha=-\frac{b}{2a}$, pas de $c$.
7. Dire que le sommet est $(0,\beta)$ : le sommet est $S(\alpha;\beta)$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

✅ Checklist Examen

1. Identifier un trinôme du second degré sous la forme $P(x)=ax^2+bx+c$ et vérifier que $a\neq0$.
2. Passer en forme canonique en trouvant $\alpha=-\frac{b}{2a}$ puis $\beta=P(\alpha)$.
3. Lire le sommet $S(\alpha;\beta)$ et l’axe de symétrie $x=\alpha$ à partir de $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
4. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ pour l’équation $ax^2+bx+c=0$.
5. Déterminer le nombre de solutions réelles à partir du signe de $\Delta$ : $\Delta>0$, $\Delta=0$, $\Delta<0$.
6. Calculer $x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ quand $\Delta>0$.
7. Calculer $x_0=-\frac{b}{2a}$ quand $\Delta=0$.
8. Faire la vérification en remplaçant les solutions dans le trinôme pour confirmer l’annulation.
9. Écrire la factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$ quand les deux racines réelles sont distinctes (cas $\Delta>0$).