Analyse Hilbertienne et Topologie des Espaces Métriques

1. 📌 L'essentiel

• Un espace métrique est défini par une distance $d(x, y)$ vérifiant positivité, symétrie, inégalité triangulaire, et $d(x, y) = 0 \iff x = y$.
• La topologie est donnée par les ouverts (union de boules) et fermés (compléments d’ouverts).
• La convergence d’une suite $a_n \to a$ implique $d(a_n, a) \to 0$ ; suite de Cauchy : $d(a_n, a_m \to 0$.
• Un espace complet est tel que toute suite de Cauchy converge.
• La compacité dans $\mathbb{R}$ équaut à être fermé et borné.
• Un espace normé est un espace vectoriel avec une norme $N$, homogène et vérifiant l’inégalité triangulaire ; espace de Banach : espace normé complet.
• Un espace de Hilbert possède un produit scalaire hermitien, orthogonalité, identité de Pythagore, projection orthogonale.
• La dualité est assurée par le théorème de Riesz, établissant une isométrie entre espace et dual.
• Une base hilbertienne est orthonormée, dense, vérifiant l’identité de Parseval.
• Les séries de Fourier utilisent des coefficients $a_n$, $b_n$, avec convergence ponctuelle, uniforme, identité de Parseval, et théorème de Dirichlet.