Lernzettel: Arithmétique : multiples et parité

📋 Plan du Cours

1. Multiples et diviseurs
2. Propriétés des multiples
3. Nombres pairs et impairs

📖 1. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple d’un entier : Un entier naturel a est un multiple d’un entier naturel b s’il existe un entier k tel que $a = kb$.

★ À maîtriser

• Si a est un multiple de b, alors b est un diviseur de a.

• Pour démontrer qu’un nombre est un multiple d’un autre, il faut établir qu’il s’écrit $a = kb$ avec k entier ; pour démontrer qu’un nombre est un diviseur d’un autre, on utilise la même égalité en inversant les rôles.

Compléments

• 21 est un multiple de 7 car $21 = 3 \times 7$.

📖 2. Propriétés des multiples

★ À maîtriser

• La somme de deux multiples d’un entier a est un multiple de a.

• Pour montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3, on les écrit n, n+1 et n+2, puis on obtient $n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)$.

Compléments

• Si $b = k_1 \times 3$ et $c = k_2 \times 3$, alors $b+c = 3\times(k_1+k_2)$, donc b+c est un multiple de 3 puisque $k_1+k_2$ est entier.

• La somme $72+108=180$ est un multiple de 9, car $180=20\times9$.

📖 3. Nombres pairs et impairs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un multiple de 2 et peut s’écrire $2k$ avec k entier.
• Nombre impair : Un nombre qui n’est pas pair et peut s’écrire $2k+1$ avec k entier.

★ À maîtriser

• La somme de deux nombres pairs est paire, la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est impaire, et la somme de deux nombres impairs est paire.

• Le produit d’un nombre pair par un nombre pair, par un nombre quelconque ou par un nombre impair est pair.

• Le carré d’un nombre impair est impair.

Compléments

• 34 est pair car $34=17\times2$, tandis que 57 est impair car il n’existe aucun entier k tel que $57=k\times2$.

💡 Astuce mémo

Pair = 2k ; impair = 2k + 1.

📊 Tableaux de synthèse

Règles de parité

Opération	Résultat
Pair + pair	Pair
Pair + impair	Impair
Impair + impair	Pair
Produit avec un facteur pair	Pair