Quiz: Biostatistiques et probabilités — 47 Fragen

1. Quelle condition caractérise une expérience aléatoire ?

A. Elle peut être répétée et possède au moins deux résultats, dont l’issue est imprévisible

B. Elle possède un seul résultat déterminé à l’avance

C. Elle produit toujours le même résultat après chaque répétition

D. Elle ne peut être réalisée qu’une seule fois

Answer: (A)

Erklärung

Une expérience aléatoire peut être répétée, possède au moins deux résultats possibles et son résultat est imprévisible.

2. Comment représente-t-on généralement un événement en probabilités ?

A. Par une fraction représentant sa probabilité

B. Par un nombre indiquant le nombre d’issues possibles

C. Par une lettre minuscule désignant une opération

D. Par une lettre majuscule correspondant à une condition ou à un résultat

Answer: (D)

Erklärung

Un événement est représenté par une lettre majuscule et correspond à une condition ou à un résultat de l’expérience étudiée.

3. Dans une expérience donnée, que signifie l’événement A∩B ?

A. A et B se réalisent simultanément

B. Ni A ni B ne se réalise

C. A se réalise sans que B se réalise

D. A ou B se réalise, éventuellement les deux

Answer: (A)

Erklärung

L’intersection A∩B correspond à la réalisation simultanée de A et de B. L’union A∪B signifie au contraire qu’au moins l’un des deux se réalise.

4. Si E désigne « obtenir un nombre pair », que représente l’événement contraire de E ?

A. Obtenir simultanément un nombre pair et impair

B. Obtenir un nombre impair, c’est-à-dire ne pas réaliser E

C. Obtenir un nombre pair

D. Obtenir un résultat impossible

Answer: (B)

Erklärung

L’événement contraire de E, noté ̅E, correspond à la non-réalisation de E ; ici, il correspond à l’obtention d’un nombre impair.

5. Dans une situation d’équiprobabilité comportant 20 issues possibles, dont 5 favorables à E, quelle est P(E) ?

A. 0,05

B. 0,25

C. 4

D. 0,20

Answer: (B)

Erklärung

En équiprobabilité, P(E) est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles : 5/20 = 0,25.

6. Quelle formule permet de calculer la probabilité de A∪B lorsqu'A et B peuvent se produire simultanément ?

A. P(A)+P(B)-P(A∩B)

B. P(A∩B)-P(A)-P(B)

C. P(A)P(B)

D. P(A)+P(B)

Answer: (A)

Erklärung

La formule P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) corrige le double comptage des issues appartenant aux deux événements.

7. Si P(A∩B)=0,12 et P(B)=0,30, quelle est la probabilité conditionnelle P_B(A) ?

A. 2,5

B. 0,18

C. 0,40

D. 0,036

Answer: (C)

Erklärung

La probabilité conditionnelle vérifie P_B(A)=P(A∩B)/P(B), donc 0,12/0,30 = 0,40.

8. Quelle égalité exprime correctement les probabilités composées pour deux événements A et B ?

A. P(A∩B)=P(A∪B)-P(A)-P(B)

B. P(A∩B)=P(A)+P_A(B)

C. P(A∩B)=P(A)/P(B)

D. P(A∩B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A)

Answer: (D)

Erklärung

La probabilité de l’intersection se calcule en multipliant la probabilité d’un événement par la probabilité conditionnelle de l’autre : P(A∩B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A).

9. Dans quelle situation la construction d’un arbre de probabilités est-elle particulièrement adaptée ?

A. Lorsque l’énoncé fournit des probabilités conditionnelles liées à plusieurs étapes

B. Lorsque l’expérience ne possède qu’une seule issue

C. Lorsque toutes les issues sont nécessairement équiprobables

D. Lorsque l’on cherche uniquement le complémentaire d’un événement

Answer: (A)

Erklärung

Un arbre de probabilités est construit lorsque l’énoncé fournit des probabilités conditionnelles ; chaque branche représente une issue et porte sa probabilité.

10. Une partition est formée par A et son contraire. Quelle formule donne P(B) ?

A. P(B)=P(A)/P_A(B)

B. P(B)=P(A)P_A(B)+P(̅A)P_̅A(B)

C. P(B)=P(A)+P_A(B)

D. P(B)=P(A∩B)P(̅A∩B)

Answer: (B)

Erklärung

La formule des probabilités totales additionne les probabilités des deux chemins menant à B : P(B)=P(A)P_A(B)+P(̅A)P_̅A(B).

11. Pour calculer la probabilité d’un événement atteint par plusieurs chemins incompatibles dans un arbre, quelle méthode faut-il appliquer ?

A. Additionner les probabilités successives de chaque chemin

B. Multiplier les probabilités de chaque chemin, puis additionner les résultats obtenus

C. Soustraire les probabilités des chemins les uns des autres

D. Multiplier directement les probabilités de tous les chemins

Answer: (B)

Erklärung

Les probabilités se multiplient le long d’un même chemin, puis les probabilités des chemins incompatibles qui aboutissent à l’événement recherché s’additionnent.

12. Deux événements E et F sont incompatibles lorsque quelle condition est vérifiée ?

A. Ils ne peuvent pas se produire simultanément, donc P(E∩F)=0

B. La réalisation de l’un modifie la probabilité de l’autre

C. Ils peuvent toujours se produire simultanément

D. Ils ont la même probabilité

Answer: (A)

Erklärung

Des événements incompatibles ne peuvent pas survenir ensemble, ce qui équivaut à P(E∩F)=0. Cette notion se distingue de l’indépendance.

13. Que mesure la sensibilité d’un test diagnostique ?

A. La probabilité qu’un sujet positif soit effectivement malade

B. La probabilité qu’un sujet malade obtienne un résultat positif

C. La probabilité qu’un sujet sain obtienne un résultat négatif

D. La proportion de sujets sains parmi les sujets testés

Answer: (B)

Erklärung

La sensibilité est la probabilité d’obtenir un test positif chez un sujet malade : Se = P_M(T^+). La probabilité d’un résultat négatif chez un sujet sain correspond à la spécificité.

14. Dans quelle situation un test diagnostique possède-t-il une grande spécificité ?

A. Il donne fréquemment un résultat négatif chez les sujets sains

B. Il donne fréquemment un résultat positif chez les sujets malades

C. Il identifie correctement les sujets positifs comme étant malades

D. Il donne rarement un résultat négatif chez les sujets malades

Answer: (A)

Erklärung

La spécificité mesure la probabilité qu’un sujet sain obtienne un résultat négatif : Spe = P_{\overline{M}}(T^-).

15. Dans un tableau diagnostique, 80 malades ont un test positif et 20 malades un test négatif. Quelle est la sensibilité du test ?

A. 80 %

B. 100 %

C. 25 %

D. 20 %

Answer: (A)

Erklärung

Avec a = 80 et c = 20, la sensibilité vaut Se = a/(a+c) = 80/(80+20) = 80 %.

16. Quel objectif est prioritaire lors d’un dépistage ?

A. Obtenir une grande sensibilité pour repérer les malades

B. Réduire la proportion de sujets sains testés négatifs

C. Maximiser la valeur prédictive négative indépendamment du contexte

D. Obtenir une grande spécificité pour confirmer les cas

Answer: (A)

Erklärung

En dépistage, on recherche une grande sensibilité afin de détecter le plus grand nombre possible de sujets malades. La grande spécificité est plutôt recherchée en diagnostic ou en confirmation.

17. Que représente l’espérance E(X) d’une variable aléatoire ?

A. Le carré de l’écart entre deux valeurs possibles

B. La dispersion des valeurs autour de leur moyenne

C. Le centre théorique ou la moyenne attendue de la variable

D. La probabilité maximale prise par la variable

Answer: (C)

Erklärung

L’espérance, aussi appelée moyenne théorique ou valeur attendue, décrit le centre théorique de la variable. La dispersion est mesurée par la variance.

18. Quelle expression mesure la dispersion des valeurs d’une variable X autour de son espérance ?

A. E(X^2)+E(X)^2

B. E(X)-E(X^2)

C. E(X)

D. E[(X-E(X))^2]

Answer: (D)

Erklärung

La variance mesure la dispersion autour de la moyenne et vérifie Var(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-E(X)^2.

19. Si Var(X)=5, quelle est la variance de 2X+7 ?

A. 9

B. 10

C. 5

D. 20

Answer: (D)

Erklärung

La variance vérifie Var(aX+b)=a^2Var(X). Ainsi, Var(2X+7)=2^2 × 5=20 ; l’ajout de 7 ne modifie pas la variance.

20. Que contient la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète ?

A. Une densité définie sur un intervalle continu

B. Uniquement l’espérance et la variance de la variable

C. Les valeurs possibles et une probabilité associée à chacune

D. La probabilité cumulée pour une seule valeur fixée

Answer: (C)

Erklärung

La loi d’une variable discrète énumère les valeurs qu’elle peut prendre et associe une probabilité à chaque valeur isolée. Elle se distingue ainsi d’une densité continue.

21. Quelle condition doivent satisfaire les probabilités d’une loi discrète comportant n valeurs ?

A. Leur produit doit être égal à 1

B. Leur somme doit être égale à 0

C. Chaque probabilité doit être égale à 1/n

D. Leur somme doit être égale à 1

Answer: (D)

Erklärung

Les probabilités de toutes les valeurs possibles doivent couvrir l’ensemble des issues ; elles vérifient donc Σ p_i = 1.

22. Une variable X prend les valeurs 0 et 2 avec des probabilités respectives 0,25 et 0,75. Quelle est son espérance ?

A. 1

B. 0,5

C. 1,5

D. 2

Answer: (C)

Erklärung

On calcule E(X)=Σp_i x_i = 0,25×0 + 0,75×2 = 1,5. L’espérance est une moyenne pondérée des valeurs possibles.

23. Pour une variable aléatoire discrète, que représente F(3) ?

A. La probabilité que X soit supérieure ou égale à 3

B. La probabilité que X soit inférieure ou égale à 3

C. La probabilité que X soit strictement inférieure à 3

D. La probabilité que X soit exactement égal à 3

Answer: (B)

Erklärung

La fonction de répartition est définie par F(x)=P(X≤x). Ainsi, F(3)=P(X≤3), soit la somme des probabilités des valeurs inférieures ou égales à 3.

24. Quelle condition caractérise une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre π ?

A. Elle compte les succès obtenus lors de n essais indépendants

B. Elle prend toutes les valeurs entières entre 0 et n avec la même probabilité

C. Elle prend la valeur 1 avec la probabilité π et la valeur 0 avec la probabilité 1−π

D. Elle mesure le temps séparant deux succès successifs

Answer: (C)

Erklärung

Une loi de Bernoulli décrit un seul essai à deux issues : la valeur 1 survient avec la probabilité π et la valeur 0 avec la probabilité 1−π. Le comptage de plusieurs succès relève de la loi binomiale.

25. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre π, quelles sont son espérance et sa variance ?

A. E(X)=π(1−π) et Var(X)=π

B. E(X)=π² et Var(X)=1−π²

C. E(X)=π et Var(X)=π(1−π)

D. E(X)=1−π et Var(X)=π

Answer: (C)

Erklärung

Pour une loi de Bernoulli, l’espérance vaut π et la variance vaut π(1−π).

26. Quelle situation est correctement modélisée par une loi binomiale de paramètres n et π ?

A. Le nombre de succès lors d’épreuves dont la probabilité varie à chaque essai

B. Le nombre de succès lors de n épreuves indépendantes, chacune ayant une probabilité π de succès

C. Le résultat d’un unique essai comportant deux issues, avec une probabilité π de succès

D. Le temps nécessaire avant l’apparition du premier succès dans une suite d’essais

Answer: (B)

Erklärung

La loi binomiale compte les succès obtenus lors de n épreuves indépendantes, à deux issues, partageant la même probabilité π de succès.

27. Si X suit une loi binomiale de paramètres n et π, quelle expression donne P(X=k) ?

A. \(\binom{n}{k}\pi^n(1-\pi)^k\)

B. \(\pi^k(1-\pi)^{n-k}\)

C. \(\binom{n}{k}\pi^k(1-\pi)^{n-k}\)

D. \(e^{-\pi}\frac{\pi^k}{k!}\)

Answer: (C)

Erklärung

La probabilité d’obtenir exactement k succès est \(P(X=k)=\binom{n}{k}\pi^k(1-\pi)^{n-k}\), pour k compris entre 0 et n.

28. Quel phénomène est adapté à une modélisation par une loi de Poisson ?

A. La durée d’attente avant le prochain appel

B. Le résultat d’un unique essai à deux issues

C. La concentration mesurée à un instant donné

D. Le nombre d’appels reçus pendant une heure

Answer: (D)

Erklärung

La loi de Poisson modélise un comptage effectué sur une durée, une longueur, une surface ou un volume donné. Une durée d’attente relève plutôt d’un modèle de durée, comme la loi exponentielle.

29. Pour X suivant une loi de Poisson de paramètre λ, quelle formule donne la probabilité d’obtenir k événements ?

A. \(P(X=k)=\lambda e^{-k}\)

B. \(P(X=k)=e^{-k}\frac{k^\lambda}{\lambda!}\)

C. \(P(X=k)=\binom{\lambda}{k}\lambda^k(1-\lambda)^{\lambda-k}\)

D. \(P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)

Answer: (D)

Erklärung

La loi de Poisson donne \(P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!\). Ici, λ est le paramètre et la moyenne, tandis que k est une valeur possible du comptage.

30. Une variable X suit une loi de Poisson de paramètre 6. Que valent son espérance et sa variance ?

A. E(X)=3 et Var(X)=6

B. E(X)=36 et Var(X)=6

C. E(X)=6 et Var(X)=36

D. E(X)=6 et Var(X)=6

Answer: (D)

Erklärung

Pour une loi de Poisson, l’espérance et la variance sont toutes deux égales au paramètre λ, donc ici elles valent 6.

31. Dans quelle situation l’approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson est-elle pertinente ?

A. Lorsque n et π sont tous deux grands, avec λ=n+π

B. Lorsque n est petit et π est proche de 1, avec λ=π/n

C. Lorsque n est grand et π est petit, avec λ=nπ

D. Lorsque n est grand et π vaut exactement 1/2, avec λ=n−π

Answer: (C)

Erklärung

Une loi binomiale de paramètres n et π peut être approchée par une loi de Poisson lorsque n est grand et π petit, en prenant λ=nπ.

32. Laquelle de ces grandeurs peut être modélisée par une variable aléatoire continue ?

A. Le nombre de succès obtenus en dix essais

B. Le nombre de défauts d’une pièce

C. Une durée mesurée dans un intervalle donné

D. Le nombre de patients arrivés dans une heure

Answer: (C)

Erklärung

Une variable continue peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle, comme une durée, une concentration ou une longueur d’onde. Les autres exemples sont des comptages discrets.

33. Quelle propriété doit satisfaire une fonction f pour être une densité de probabilité ?

A. Elle est positive ou nulle et son intégrale sur l’ensemble des réels vaut 1

B. Elle peut prendre des valeurs négatives et son intégrale vaut 0

C. Elle est positive ou nulle et son intégrale vaut la moyenne de la variable

D. Elle vaut 1 en chaque point de l’intervalle étudié

Answer: (A)

Erklärung

Une densité de probabilité est positive ou nulle et vérifie \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1\).

34. Pour une variable aléatoire continue, pourquoi les événements X=a et X≤a ont-ils une probabilité ponctuelle différente de celle d’une variable discrète ?

A. Parce que les variables continues ne possèdent pas de densité de probabilité

B. Parce que P(X=a)=0, ce qui rend équivalentes les bornes strictes et larges dans un intervalle

C. Parce que seules les bornes strictes peuvent être utilisées avec une variable continue

D. Parce que P(X=a)=1 pour toute valeur a située dans l’intervalle

Answer: (B)

Erklärung

Pour une variable continue, la probabilité d’une valeur ponctuelle est nulle : \(P(X=k)=0\). Ainsi, ajouter ou retirer une borne ne modifie pas la probabilité d’un intervalle.

35. Quelle est la densité d’une variable uniforme sur l’intervalle [a,b] ?

A. Elle vaut 1/(b−a) sur [a,b] et 0 ailleurs

B. Elle augmente linéairement entre a et b

C. Elle vaut λe^(−λx) sur les nombres positifs

D. Elle vaut une constante différente sur chaque sous-intervalle

Answer: (A)

Erklärung

La densité uniforme est constante et égale à 1/(b−a) sur [a,b], puis nulle en dehors de cet intervalle. Elle se distingue ainsi de la densité exponentielle, qui décroît.

36. Si X suit une loi uniforme sur [2,14], quelles sont son espérance et sa variance ?

A. 6 et 12

B. 8 et 144

C. 6 et 144

D. 8 et 12

Answer: (D)

Erklärung

Pour une loi uniforme, E(X)=(a+b)/2 et Var(X)=(b−a)²/12. Ici, l’espérance vaut 8 et la variance vaut 12²/12=12.

37. Quel phénomène est particulièrement bien modélisé par une loi exponentielle ?

A. La mesure d’une grandeur répartie symétriquement autour d’une moyenne

B. La taille d’une population à un instant donné

C. La durée de fonctionnement d’un dispositif sans vieillissement

D. Le choix équiprobable d’une valeur dans un intervalle borné

Answer: (C)

Erklärung

La loi exponentielle modélise une durée de fonctionnement sans usure, vieillissement ou mémoire. Les autres situations renvoient à d’autres modèles probabilistes.

38. Un composant fonctionne déjà depuis a heures et sa durée de vie X suit une loi exponentielle. Comment s’exprime la probabilité qu’il fonctionne encore u heures supplémentaires ?

A. P(X>a+u)

B. P(X>a+u)−P(X>a)

C. P(X>a)P(X>u)

D. P(X>u)

Answer: (D)

Erklärung

La propriété sans mémoire donne P(X>a+u | X>a)=P(X>u). La probabilité des u prochaines unités ne dépend donc pas du temps déjà écoulé.

39. Pour une variable X suivant une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ, quel paramètre modifie principalement l’étalement de la courbe ?

A. L’écart-type σ

B. Le percentile choisi

C. La moyenne μ

D. La variance de la moyenne uniquement

Answer: (A)

Erklärung

La moyenne μ déplace la courbe, tandis que l’écart-type σ contrôle son étalement. Une valeur de σ plus grande produit une distribution plus dispersée.

40. Si X suit une loi normale de moyenne 80 et d’écart-type 5, quelle variable est centrée réduite ?

A. Z=X/80

B. Z=(X−80)/5

C. Z=(X+80)/5

D. Z=(X−5)/80

Answer: (B)

Erklärung

La standardisation s’effectue par Z=(X−μ)/σ. Ici, on obtient donc Z=(X−80)/5, qui suit une loi normale centrée réduite.

41. Pour calculer P(a≤X≤b) lorsqu’une variable X suit une loi normale, quelle démarche faut-il appliquer ?

A. Utiliser la densité uniforme sur l’intervalle [a,b]

B. Remplacer directement X par sa variance dans la fonction de répartition

C. Transformer les deux bornes en scores réduits puis utiliser la fonction de répartition de N(0,1)

D. Transformer uniquement la borne supérieure et conserver la borne inférieure inchangée

Answer: (C)

Erklärung

Les deux bornes doivent être standardisées, puis la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite permet de calculer la probabilité recherchée.

42. Quel est le rôle général du théorème de la limite centrale ?

A. Approcher certaines lois par une loi normale sous des conditions de validité

B. Remplacer toute loi discrète par une loi uniforme

C. Calculer exactement la probabilité de chaque événement élémentaire

D. Garantir qu’une variable individuelle suit une loi normale

Answer: (A)

Erklärung

Le théorème de la limite centrale permet d’approcher certaines distributions par une loi normale lorsque les conditions nécessaires sont respectées. Il ne garantit pas la normalité d’une variable individuelle.

43. Dans quelles conditions une variable Y suivant une loi binomiale B(n,π) peut-elle être approximée par une loi normale ?

A. Lorsque nπ≥5 et n(1−π)≥5

B. Lorsque nπ<5 et n(1−π)<5

C. Lorsque π=0,5, quelle que soit la valeur de n

D. Lorsque n≥30 et π est inférieur à 0,05

Answer: (A)

Erklärung

L’approximation binomiale-normale exige simultanément nπ≥5 et n(1−π)≥5. La condition n grand et π petit concerne plutôt l’approximation de Poisson.

44. Pour n variables indépendantes de même moyenne μ et variance σ², comment évolue la variance de leur moyenne M_n lorsque n augmente ?

A. Elle devient μ/n

B. Elle reste égale à σ²

C. Elle devient σ²/n

D. Elle devient nσ²

Answer: (C)

Erklärung

La moyenne M_n possède une variance égale à σ²/n. Elle diminue donc lorsque la taille de l’échantillon augmente, contrairement à la variance de la somme.

45. Un échantillon contient au moins 30 observations indépendantes, issues d’une population qui n’est pas nécessairement normale. Quelle approximation peut-on utiliser pour sa moyenne M_n ?

A. Une loi normale de moyenne μ et de variance σ²/n

B. Une loi normale de moyenne nμ et de variance nσ²

C. Une loi exponentielle de moyenne μ/n

D. Une loi uniforme de moyenne μ et de variance σ²

Answer: (A)

Erklärung

Pour n≥30, la moyenne d’observations indépendantes est approximativement normale, même si la population d’origine n’est pas normale, avec moyenne μ et variance σ²/n.

46. Quelle expression définit la fonction de répartition d’une variable continue de densité f ?

A. F(x)=\int_{x}^{+\infty}t f(t)\,dt

B. F(x)=P(X\geq x)=\int_{x}^{+\infty}f(t)\,dt

C. F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt

D. F(x)=P(X=x)=f(x)

Answer: (C)

Erklärung

La fonction de répartition est une probabilité cumulée jusqu’à x : elle vaut P(X≤x) et s’obtient en intégrant la densité de −∞ à x. Elle ne correspond donc pas directement à la valeur isolée de la densité f(x).

47. Une variable continue a pour fonction de répartition F. Quelle relation permet de déterminer sa médiane m et sa densité f lorsque F est dérivable ?

A. F(m)=f(m) et f(x)=\int_{-\infty}^{x}F(t)\,dt

B. F(m)=0 et f(x)=F(x)

C. F(m)=1 et f(x)=1-F'(x)

D. F(m)=1/2 et f(x)=F'(x)

Answer: (D)

Erklärung

La médiane est une valeur m telle que la probabilité cumulée atteigne 1/2, donc F(m)=1/2. Lorsque F est dérivable, sa dérivée donne la densité : f(x)=F'(x).