Lernzettel: Calculs et formules en géométrie plane

📋 Plan du Cours

1. Périmètre : définition et calcul
2. Périmètres des figures usuelles
3. Unités d’aires et conversions
4. Aires du rectangle, du carré et du triangle rectangle
5. Aire du disque et longueur du cercle
6. Aire du parallélogramme et du triangle
7. Découpage pour calculer l’aire d’une figure

📖 1. Périmètre : définition et calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Périmètre : Le périmètre d’une figure est la longueur totale parcourue quand on fait le tour de la figure.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un périmètre, on additionne les longueurs de tous les côtés du contour.
• Pour un rectangle, le périmètre vaut $P=2L+2l$.
• Pour un cercle, le périmètre vaut $P=2\pi r$ avec $\pi\approx 3,14$.

💡 Astuce mémo

Tourner = additionner les longueurs du contour.

📖 2. Périmètres des figures usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Rectangle : Un rectangle est une figure à 4 côtés dont deux longueurs opposées sont égales et deux autres aussi.
• Carré : Un carré est un rectangle particulier dont tous les côtés ont la même longueur.

📝 Points essentiels

• Pour un carré de côté $c$, le périmètre vaut $P=4c$.
• Pour un losange de côté $c$, le périmètre vaut aussi $P=4c$.
• Pour un cercle de rayon $r$, le périmètre vaut $P=2\pi r$ avec $\pi\approx 3,14$.

📖 3. Unités d’aires et conversions

🔑 Notions clés & Définitions

• Aire : L’aire mesure la surface d’une figure, exprimée dans une unité carrée.
• Conversion d’unités d’aire : Convertir des unités d’aire consiste à passer d’une unité carrée à une autre en respectant les facteurs au carré.

📝 Points essentiels

• $1\text{ cm}^2$ est l’aire d’un carré de côté $1\text{ cm}$.
• Tableau de conversion à double colonne : $1\text{ cm}^2=100\text{ mm}^2$ et $6{,}21\text{ cm}^2=0{,}0621\text{ dm}^2$.
• Exemples donnés : $3{,}4\text{ m}^2=34\,000\text{ cm}^2$ et $81{,}3\text{ km}^2=813\,000\text{ dam}^2$.

💡 Astuce mémo

Unités d’aire = unités au carré.

📖 4. Aires du rectangle, du carré et du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Aire du rectangle : L’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.
• Aire du triangle rectangle : L’aire d’un triangle rectangle est la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

📝 Points essentiels

• Carré de côté $c$ : aire $=c^2$ ; exemple $c=4\text{ cm}$ donne $16\text{ cm}^2$.
• Triangle rectangle : aire $=\dfrac{1}{2}\times \text{base}\times \text{hauteur}$ ; exemple base $=1\text{ cm}$ et hauteur $=1\text{ cm}$ donne $0{,}5\text{ cm}^2$.
• Pour une figure composée : aire totale = aire du carré − aire du triangle ; exemple $16-0{,}5=15{,}5\text{ cm}^2$.

📖 5. Aire du disque et longueur du cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Disque : Un disque est la surface à l’intérieur d’un cercle, dont le rayon détermine son aire.
• Longueur du cercle : La longueur du cercle est la distance totale le long du cercle, appelée aussi circonférence.

📝 Points essentiels

• Aire du disque : $A=\pi r^2$ avec $\pi\approx 3,14$ ; exemple $r=4\text{ cm}$ donne $\approx 50{,}24\text{ cm}^2$.
• Aire d’un demi-disque : on prend la moitié de l’aire du disque ; exemple diamètre $3\text{ cm}$ donc $r=1{,}5\text{ cm}$ donne $\approx 3{,}5325\text{ cm}^2$.
• Ne pas confondre : longueur du cercle $=2\pi r$ (pas $\pi r^2$).

💡 Astuce mémo

Disque → carré du rayon ($r^2$), cercle → rayon multiplié ($r$).

📖 6. Aire du parallélogramme et du triangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallélogramme : Un parallélogramme est une figure à deux paires de côtés opposés parallèles.
• Triangle : Un triangle est une figure à trois côtés, dont l’aire peut se relier à celle d’un parallélogramme de même base et hauteur.

📝 Points essentiels

• Aire du parallélogramme : $A=B\times h$ ; exemple $6\text{ cm}\times 3\text{ cm}=18\text{ cm}^2$.
• Aire du triangle : c’est la moitié de l’aire du parallélogramme de même base et hauteur ; donc $A=\dfrac{B\times h}{2}$.
• Pour calculer un triangle, on utilise base et hauteur comme pour le parallélogramme correspondant.

📖 7. Découpage pour calculer l’aire d’une figure

🔑 Notions clés & Définitions

• Découpage de figure : Découper une figure consiste à la partager en morceaux de formes dont on connaît les formules d’aire.

📝 Points essentiels

• Quand il n’existe pas de formule directe, on découpe en figures simples (ici deux triangles).
• Aire totale = somme des aires des morceaux ; exemple $5{,}625+2{,}5=8{,}125\text{ cm}^2$.
• Chaque morceau se calcule avec sa formule propre (triangle rectangle : moitié base×hauteur).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre périmètre et aire : le périmètre se mesure en longueur, l’aire en unités carrées.
2. Confondre $\pi r^2$ (aire du disque) et $2\pi r$ (longueur du cercle).
3. Oublier la division par 2 pour l’aire d’un triangle rectangle ou d’un triangle obtenu à partir d’un parallélogramme.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir le périmètre et calculer un périmètre en additionnant les longueurs du contour.
2. Connaître et utiliser $P=2L+2l$ (rectangle), $P=4c$ (carré/losange) et $P=2\pi r$ (cercle avec $\pi\approx 3,14$).
3. Savoir convertir des unités d’aire avec un tableau et maîtriser des conversions du type cm$^2$↔mm$^2$ et km$^2$↔dam$^2$ (exemples du cours).
4. Calculer des aires : rectangle (produit longueur×largeur), carré ($c^2$), triangle rectangle ($\frac12\times$ base×hauteur).
5. Calculer l’aire d’un disque ($\pi r^2$) et d’un demi-disque (moitié), puis distinguer de la longueur du cercle ($2\pi r$).
6. Calculer l’aire d’un parallélogramme ($B\times h$) et en déduire celle d’un triangle (moitié).
7. Savoir découper une figure en morceaux, calculer chaque aire avec une formule connue, puis additionner pour obtenir l’aire totale.