Lernzettel: Comportement global des suites

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Démonstration par récurrence

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une liste ordonnée de nombres réels indexés par des entiers naturels, et u_n désigne le terme de rang n.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

⚡ Une suite est définie explicitement lorsqu'une formule exprime directement u_n en fonction de n, par exemple u_n=2n+1 pour n≥0.

⚡ Une suite est définie par récurrence lorsqu'un terme initial est donné et qu'une formule exprime chaque terme à partir d'un terme précédent, par exemple u_0=2 et u_{n+1}=2u_n+1 pour n≥0.

Compléments

• Pour la suite définie par u_n=2n+1 pour n≥0, le cinquième terme vaut u_4=9 lorsque le premier terme est de rang 0.

• Pour la suite définie par u_0=2 et u_{n+1}=2u_n+1, on obtient u_1=2u_0+1=5.

💡 Astuce mémo

Explicite : en fonction de n ; récurrente : en fonction du terme précédent.

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsqu'il existe un réel R tel que u_{n+1}=u_n+R, où R est appelée raison.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique lorsqu'il existe un réel q tel que u_{n+1}=u_n×q, avec u_n≠0 et q≠1 selon les conditions du cours, et q est appelée raison.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Dans une suite arithmétique, on a u_n=u_p+(n-p)R.

🧮 Formule — La somme des termes d'une suite arithmétique de u_p à u_n est S=(n-p+1)(u_p+u_n)/2.

🧮 Formule — Dans une suite géométrique, on a u_n=u_p×q^{n-p}.

🧮 Formule — La somme des termes d'une suite géométrique de u_p à u_n est S=u_p(1-q^{n-p+1})/(1-q).

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute ; géométrique : on multiplie.

📖 3. Démonstration par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Démonstration par récurrence : Pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier n≥p, il faut vérifier son initialisation au rang p, établir son hérédité du rang n au rang n+1, puis conclure qu'elle est vraie pour tout n≥p.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — L'hérédité consiste à supposer la propriété vraie à un rang n et à utiliser cette hypothèse pour démontrer qu'elle est vraie au rang n+1.

Compléments

• La démonstration par récurrence permet d'établir que, pour tout n≥1, la somme 1+2+⋯+n vaut n(n+1)/2.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des suites de référence

Type	Relation de récurrence	Terme général	Somme de u_p à u_n
Arithmétique	u_{n+1}=u_n+R	u_n=u_p+(n-p)R	(n-p+1)(u_p+u_n)/2
Géométrique	u_{n+1}=u_n×q	u_n=u_p×q^{n-p}	u_p(1-q^{n-p+1})/(1-q)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une définition explicite donne u_n en fonction de n, contrairement à une définition par récurrence.
2. La suite arithmétique ajoute une raison constante, elle ne multiplie pas par une raison.
3. L'hérédité seule ne suffit pas : l'initialisation doit également être vérifiée.
4. Une relation de récurrence ne donne pas directement u_n en fonction de n.
5. La suite géométrique multiplie par une raison constante, elle ne lui ajoute pas une constante.
6. L'hypothèse de récurrence porte sur le rang n, tandis que la conclusion porte sur le rang n+1.