Lernzettel: Comprendre les fonctions affines et leur graphique

📋 Plan du Cours

1. Fonctions affines linéaires
2. Fonction linéaire F(x)=ax et facteur de linéarité
3. Expression fonctionnelle et calcul de valeurs
4. Fonctions affines : pente et ordonnée à l'origine
5. Variations des fonctions affines selon le signe de a
6. Fonction affine : forme ax+b et interprétation graphique

📖 1. Fonctions affines linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine-linéaire : Fonction affine-linéaire : fonction dont l’expression est de la forme $F(x)=ax$, sans terme constant.
• Fonction linéaire : Fonction linéaire : fonction de la forme $F(x)=ax$ où la valeur dépend uniquement de $x$ multiplié par $a$.
• Droite passant par (0 ; 0) : Propriété géométrique : la droite d’une fonction linéaire passe toujours par le point $(0;0)$.

📝 Points essentiels

• Une fonction linéaire s’écrit $F(x)=ax$ et correspond à un terme constant nul.
• Pour une fonction linéaire, on a $F(0)=0$ car $F(0)=a\cdot 0$.
• La droite d’une fonction linéaire passe toujours par $(0;0)$.
• Le paramètre $a$ joue le rôle de pente et de facteur de linéarité.
• Exemple donné : $h(x)=-2x-2$ et $c(x)=x+3$ ne sont pas de la forme $ax$ (donc pas linéaires).

💡 Astuce mémo

LinÉaire = pas de +b : $F(x)=ax$ donc $F(0)=0$ et la droite passe par $(0;0)$.

📖 2. Fonction linéaire F(x)=ax et facteur de linéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteur de linéarité : Facteur de linéarité : nombre $a$ qui multiplie $x$ dans $F(x)=ax$ et fixe l’intensité de la relation.
• Pente : Pente : coefficient $a$ qui détermine l’inclinaison de la droite associée à $F(x)=ax$.
• Expression fonctionnelle : Expression fonctionnelle : écriture algébrique de la fonction, ici $F(x)=ax$.

📝 Points essentiels

• Dans $F(x)=ax$, $a$ est à la fois la pente et le facteur de linéarité.
• Le facteur de linéarité indique comment la valeur de la fonction change quand $x$ change.
• Exemple du tableau : pour $x=-2$, on obtient $f(x)=-6$ avec $a=3$ (car $f(x)=3x$).
• Exemple du tableau : pour $x=4$, on obtient $f(x)=12$ avec la même règle $f(x)=3x$.
• Le terme $b$ vaut $0$ pour une fonction linéaire, donc $F(0)=0$.
• Le calcul de valeurs se fait en remplaçant $x$ par la valeur demandée dans l’expression $ax$.

💡 Astuce mémo

Facteur de linéarité = même lettre $a$ : $F(x)=ax$ donc tout vient de la multiplication par $a$.

📖 3. Expression fonctionnelle et calcul de valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Évaluation en un point : Évaluation en un point : calcul de $f(t)$ en remplaçant la variable par la valeur $t$ dans l’expression de la fonction.
• Expression fonctionnelle : Expression fonctionnelle : formule qui donne la valeur de la fonction à partir de $x$ (ex. $f(x)=2x+1$).
• Table de valeurs : Table de valeurs : tableau qui associe des valeurs de $x$ à des valeurs calculées de la fonction.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=2x+1$, on calcule $f(-1)=2\cdot(-1)+1=-1$.
• Pour $g(x)=2x-1$, on calcule $g(-1)=2\cdot(-1)-1=-3$.
• Pour $g(x)=2x-1$, on calcule $g(0)=2\cdot 0-1=-1$.
• Pour $g(x)=2x-1$, on calcule $g(1)=2\cdot 1-1=1$.
• Pour $g(x)=2x-1$, on calcule $g(2)=2\cdot 2-1=3$.
• Les tableaux fournis récapitulent ces évaluations pour $x=-1,0,1,2$.

💡 Astuce mémo

Évaluer = substituer : remplacer $x$ par la valeur puis calculer $2\cdot x \pm 1$.

📖 4. Fonctions affines : pente et ordonnée à l'origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction affine : fonction dont l’expression est de la forme $F(x)=ax+b$.
• Pente : Pente : coefficient $a$ dans $F(x)=ax+b$, qui fixe l’inclinaison de la droite.
• Ordonnée à l’origine : Ordonnée à l’origine : valeur $b$ égale à $F(0)$, correspondant au point où la droite coupe l’axe des ordonnées.
• Terme constant : Terme constant : nombre $b$ ajouté à $ax$ dans $F(x)=ax+b$.

📝 Points essentiels

• Dans $F(x)=ax+b$, $a$ est la pente de la droite.
• Dans $F(x)=ax+b$, $b=F(0)$ et représente l’origine sur l’axe des ordonnées.
• Une fonction affine a une expression $F: x \mapsto ax+b$.
• La droite d’une fonction affine ne passe jamais par $(0;0)$ (car $b$ n’est pas imposé à 0).
• Exemple : pour $F(x)=2x+1$, on a $a=2$ et $b=1$.
• Exemple : pour $F(x)=2x+1$, $F(0)=2\cdot 0+1=1$, donc le point $(0;1)$ appartient à la droite.

💡 Astuce mémo

Affine = $ax+b$ : $a$ donne la pente, $b$ donne $F(0)$ donc le point $(0;b)$.

📖 5. Variations des fonctions affines selon le signe de a

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissante : Croissante : propriété d’une fonction affine quand $a>0$, la valeur augmente avec $x$.
• Décroissante : Décroissante : propriété d’une fonction affine quand $a<0$, la valeur diminue avec $x$.
• Signe de a : Signe de $a$ : information sur l’inclinaison qui détermine le sens des variations pour une fonction affine.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la fonction affine est croissante.
• Si $a<0$, la fonction affine est décroissante.
• Pour $F(x)=2x+1$, comme $a=2>0$, la fonction est croissante.
• Le sens des variations dépend uniquement du signe de $a$, pas de $b$.
• Le coefficient $a$ correspond à la pente : pente positive ⇒ croissance.
• Le coefficient $a$ correspond à la pente : pente négative ⇒ décroissance.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ = sens : $+$ croît, $-$ décroît.

📖 6. Fonction affine : forme ax+b et interprétation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme $ax+b$ : Forme $ax+b$ : écriture standard d’une fonction affine, $F(x)=ax+b$, utilisée pour lire pente et ordonnée à l’origine.
• Droite associée : Droite associée : représentation graphique d’une fonction affine sous forme d’une droite dans un repère.
• Parallélisme : Parallélisme : propriété de deux droites de fonctions affines ayant la même pente $a$.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine s’écrit $F(x)=ax+b$ et se lit sur la droite associée.
• Le coefficient $a$ est la pente de la droite associée à $F(x)=ax+b$.
• Le coefficient $b$ est l’ordonnée à l’origine, donc $F(0)=b$.
• Si deux fonctions ont la même pente $a$, alors leurs droites sont parallèles.
• Exemples donnés : $t(x)=2x+1$ et $i(x)=3x-4$ ont des pentes différentes (2 et 3), donc pas parallèles d’après la règle de pente.
• Exemple graphique : pour $F(x)=2x+1$, le point $(0;1)$ est sur la droite car $F(0)=1$.

💡 Astuce mémo

Graphique : $a$ = inclinaison, $b$ = point de coupe avec l’axe des ordonnées.

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions linéaires vs affines

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction linéaire et fonction affine : $F(x)=ax$ implique $b=0$, alors que $F(x)=ax+b$ ajoute un terme constant.
2. Oublier que $b$ vaut $F(0)$ : pour $F(x)=2x+1$, $F(0)=1$ donc le point est $(0;1)$, pas $(0;0)$.
3. Interpréter le sens des variations avec $b$ : le sens dépend du signe de $a$ uniquement.
4. Croire que deux droites sont parallèles quand elles ont le même terme constant : le parallélisme dépend de la pente $a$.
5. Se tromper dans l’évaluation : remplacer $x$ par la valeur demandée dans l’expression complète (avec le $+1$ ou le $-1$).

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une fonction linéaire sous la forme $F(x)=ax$ et en déduire $F(0)=0$ et le passage par $(0;0)$.
2. Savoir identifier le facteur de linéarité et la pente : dans $F(x)=ax$, le coefficient $a$ est les deux à la fois.
3. Savoir calculer des valeurs par substitution : $f(-1)$, $g(-1)$, $g(0)$, $g(1)$, $g(2)$ à partir des expressions données.
4. Savoir reconnaître une fonction affine sous la forme $F(x)=ax+b$ et en déduire $a$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine).
5. Savoir déterminer les variations d’une fonction affine selon le signe de $a$ : $a>0$ croissante, $a<0$ décroissante.
6. Savoir interpréter graphiquement : lire le point $(0;b)$, relier la pente au parallélisme, et relier l’inclinaison au signe de $a$.