Lernzettel: Dénombrement et combinatoire

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des ensembles
2. Appartenance inclusion et parties
3. Opérations sur les ensembles
4. Cardinal et principes de dénombrement
5. P-uplets permutations et factorielles
6. Combinaisons et coefficients binomiaux
7. Parties et arrangements

📖 1. Définition et représentation des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Une collection d’éléments que l’on peut énumérer ou définir par une propriété.
• Ensemble vide : L’ensemble ne contenant aucun élément et se note $\varnothing$.

★ À maîtriser

• Un ensemble se définit par extension lorsqu’on énumère tous ses éléments, tandis qu’il se définit par compréhension lorsque ses éléments sont caractérisés par une propriété.

Compléments

• Dans un ensemble, les éléments sont non ordonnés et distincts ; un ensemble à un élément est un singleton et un ensemble à deux éléments est une paire.

💡 Astuce mémo

Extension = énumérer ; compréhension = caractériser

📖 2. Appartenance inclusion et parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance : Si un élément $a$ appartient à un ensemble $E$, on écrit $a\in E$.
• Inclusion : Un ensemble $F$ est inclus dans $E$, ce qui se note $F\subset E$, si tout élément de $F$ appartient à $E$ ou si $F=\varnothing$.
• Ensemble des parties : De $E$, noté $\mathcal P(E)$, est l’ensemble constitué de tous les sous-ensembles de $E$.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres vérifient la chaîne d’inclusions $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C$.

📖 3. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Complémentaire : De $A$ dans $E$ est l’ensemble des éléments de $E$ qui n’appartiennent pas à $A$, et $x\in\overline A\Longleftrightarrow x\in E\text{ et }x\notin A$.
• Intersection : De $A$ et $B$ est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à $A$ et à $B$, et $x\in A\cap B\Longleftrightarrow x\in A\text{ et }x\in B$.
• Union : De $A$ et $B$ est l’ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$, et $x\in A\cup B\Longleftrightarrow x\in A\text{ ou }x\in B$.

📖 4. Cardinal et principes de dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : D’un ensemble fini $A$ est son nombre d’éléments et se note $\operatorname{Card}(A)$, $|A|$ ou $\#A$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)$.

📐 Formule — Pour deux ensembles quelconques $A$ et $B$, $\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)-\operatorname{Card}(A\cap B)$.

📐 Formule — Si $\operatorname{Card}(E)=n$ et $\operatorname{Card}(F)=p$, alors $\operatorname{Card}(E\times F)=np$.

📖 5. P-uplets permutations et factorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• P-uplet : Une suite ordonnée de $p$ éléments choisis dans un ensemble, avec répétitions autorisées.
• Permutation : D’un ensemble à $n$ éléments est un ordre possible de ses $n$ éléments.

📝 Points essentiels

• Le nombre de p-uplets d’un ensemble à $n$ éléments est $n^p$.

📐 Formule — La factorielle d’un entier vérifie $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$, avec $0!=1$ et $n!=n\times(n-1)!$.

📖 6. Combinaisons et coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : De $p$ éléments parmi $n$ est le nombre de parties à $p$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments, sans tenir compte de l’ordre.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $1\le p\le n$, le nombre de combinaisons est $\binom np=\frac{n!}{(n-p)!p!}$.

📐 Formule — La relation de Pascal est $\binom np+\binom n{p+1}=\binom{n+1}{p+1}$.

Compléments

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient $\binom n0=\binom nn=1$, $\binom n1=\binom n{n-1}=n$ et $\binom n{n-p}=\binom np$.

📖 7. Parties et arrangements

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrangement : De $p$ éléments parmi $n$ est un p-uplet d’éléments distincts choisi dans un ensemble à $n$ éléments, avec $p\le n$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le nombre de parties d’un ensemble à $n$ éléments est $2^n$, et $\sum_{p=0}^{n}\binom np=2^n$.

📐 Formule — Le nombre de p-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à $n$ éléments est $\frac{n!}{(n-p)!}$.

Compléments

• Le nombre de tiercés dans l’ordre avec 18 chevaux est $\frac{18!}{15!}=18\times17\times16=4896$.

📊 Tableaux de synthèse

Choix et ordonnancement

Notion	Ordre	Répétitions	Nombre
P-uplet	Oui	Oui	$n^p$
Arrangement	Oui	Non	$\frac{n!}{(n-p)!}$
Combinaison	Non	Non	$\binom np$