Lernzettel: Équations et inéquations dans R

📋 Plan du Cours

1. Résolution dans les réels
2. Principes des équations
3. Principes des inéquations
4. Applications de résolution

📖 1. Résolution dans les réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution dans R : Résoudre une équation ou une inéquation dans R consiste à trouver toutes les valeurs réelles qui rendent l’égalité ou l’inégalité vraie.

💡 Astuce mémo

Rendre vraie l’égalité ou l’inégalité

📖 2. Principes des équations

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Dans une équation, lorsqu’un terme passe d’un membre à l’autre, son signe change.

📌 Dans une équation, les deux membres peuvent être multipliés ou divisés par un même nombre non nul.

Compléments

📌 Lorsqu’un produit passe dans l’autre membre d’une équation, il devient un quotient, et lorsqu’un quotient passe dans l’autre membre, il devient un produit.

💡 Astuce mémo

Transposer, puis isoler

📖 3. Principes des inéquations

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Dans une inéquation, lorsqu’un terme passe d’un membre à l’autre, son signe change et l’inconnue est placée du côté gauche.

📌 Dans une inéquation, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

Compléments

📌 Dans une inéquation, les deux membres peuvent être multipliés ou divisés par un même nombre non nul.

💡 Astuce mémo

Le négatif inverse le sens

📖 4. Applications de résolution

📝 Points essentiels

🔄 Processus — Pour résoudre l’équation donnée, il faut développer, simplifier, regrouper les termes en x d’un côté, placer les constantes de l’autre, puis isoler x.

• L’équation 3(5x − 1) − (−x + 2) = 2 se transforme en 15x − 3 + x − 2 = 2, puis en 16x − 5 = 2, en 16x = 7 et donne x = 7/16.

• L’inéquation 4x − 3 < 5x + 2 devient 4x − 5x < 2 + 3, puis −x < 5 ; la multiplication des deux membres par −1 inverse alors le signe de l’inégalité.

💡 Astuce mémo

Développer, regrouper, conclure

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une solution n’est pas seulement une valeur trouvée, mais toute valeur réelle qui vérifie l’égalité ou l’inégalité.
2. La multiplication ou la division doit porter sur les deux membres.
3. Multiplier ou diviser par un nombre positif ne change pas le sens de l’inégalité.
4. Le développement et le regroupement précèdent l’isolement de l’inconnue.
5. Le passage d’un membre à l’autre ne change pas seulement le signe d’un terme isolé, mais transforme aussi produit et quotient.
6. La condition du nombre non nul vaut aussi pour les inéquations.
7. Le signe < devient > lorsqu’on multiplie par −1.