Lernzettel: Fonction exponentielle : propriétés et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Définition de la fonction exponentielle
2. Nombre e et valeur e^0
3. Propriétés des puissances de e
4. Équations et inéquations exponentielles
5. Dérivabilité et dérivée de e^x
6. Fonctions de la forme e^kt

📖 1. Définition de la fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• fonction exponentielle : Fonction exponentielle : unique fonction dérivable sur R vérifiant f' = f et f(0) = 1.
• e^x : Notation exponentielle : e^x désigne la valeur de la fonction exponentielle en x.
• exp(x) : Notation alternative : exp(x) désigne la même fonction que e^x.

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle est définie par les conditions f' = f et f(0) = 1.
• La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
• La croissance de e^x est très rapide, par exemple e^21 dépasse le milliard.
• La courbe de e^x peut être observée à la calculatrice pour visualiser la croissance.

💡 Astuce mémo

f' = f et f(0)=1 : « dérivée = elle-même ».

📖 2. Nombre e et valeur e^0

🔑 Notions clés & Définitions

• nombre e : Nombre e : c’est l’image de 1 par la fonction exponentielle, notée e.

📝 Points essentiels

• On a e^1 = e par définition du nombre e.
• La valeur approchée donnée pour e est 2,718281828.
• On a e^0 = 1.
• Le symbole e représente un nombre, pas une variable.

💡 Astuce mémo

e vient de e^1 : « e = exponentielle en 1 ».

📖 3. Propriétés des puissances de e

🔑 Notions clés & Définitions

• propriété e^x e^y : Propriété de produit : elle relie le produit de deux puissances de e à une somme d’exposants.
• propriété e^x / e^y : Propriété de quotient : elle relie le quotient de deux puissances de e à une différence d’exposants.
• propriété (e^x)^n : Puissance d’une puissance : elle transforme (e^x)^n en une puissance de e avec exposant multiplié.

📝 Points essentiels

• e^x · e^y = e^(x+y).
• e^x / e^y = e^(x-y).
• 1 / e^x = e^(-x).
• (e^x)^n = e^(nx) avec n ∈ N.
• Les propriétés retrouvées sont celles des puissances.

💡 Astuce mémo

Produit → somme, quotient → différence, inverse → signe opposé.

📖 4. Équations et inéquations exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• équivalence ⇔ : Symbole ⇔ : il signifie « est équivalent à » dans une condition logique.

📝 Points essentiels

• e^a = e^b ⇔ a = b.
• e^a < e^b ⇔ a < b.
• Le sens « ⇔ » indique une équivalence bidirectionnelle.
• Les comparaisons d’exponentielles se traduisent par des comparaisons des exposants.

💡 Astuce mémo

Même base e : égalité et ordre se lisent directement sur les exposants.

📖 5. Dérivabilité et dérivée de e^x

🔑 Notions clés & Définitions

• dérivabilité de e^x : Dérivabilité : la fonction exponentielle est dérivable sur R et sa dérivée garde la même forme.
• dérivée de e^x : Règle de dérivation : la dérivée de e^x est e^x.

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle est dérivable sur R.
• La dérivée vérifie (e^x)' = e^x.
• Pour f(x)=4x-3e^x, on obtient f'(x)=4-3e^x.
• Pour g(x)=(x-1)e^x, on obtient g'(x)=x e^x.
• Pour h(x)=e^x/x, on obtient h'(x)=(x e^x - e^x)/x^2.

💡 Astuce mémo

Dérivée de e^x : « ça ne change pas ».

📖 6. Fonctions de la forme e^kt

🔑 Notions clés & Définitions

• fonction e^kt : Forme exponentielle paramétrée : f(t)=e^kt où k est un réel constant.

📝 Points essentiels

• Si f(t)=e^kt, alors f est dérivable sur R.
• La dérivée est f'(t)=k e^kt.
• Pour f(t)=5e^-3t, on obtient f'(t)=-15e^-3t.
• Pour g(t)=t e^-t, on obtient g'(t)=e^-t - t e^-t.
• Pour h(t)=4/e^t, on réécrit h(t)=4e^-t.

💡 Astuce mémo

e^kt : on « multiplie par k » en dérivant.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre e (valeur de e^1) avec l’exposant x : e est un nombre fixe.
2. Oublier que e^0 vaut 1, ce qui casse souvent les simplifications.
3. Se tromper de règle sur les exposants : produit → somme, quotient → différence.
4. Croire que e^a = e^b implique seulement a = b dans un sens : c’est une équivalence.
5. Appliquer la dérivée de e^x à e^kt sans facteur k.

✅ Checklist Examen

1. Savoir rappeler la définition de la fonction exponentielle via f' = f et f(0)=1.
2. Savoir donner e^1 = e et la valeur approchée 2,718281828.
3. Savoir utiliser e^0 = 1 et les règles e^x e^y, e^x/e^y, 1/e^x, (e^x)^n.
4. Savoir résoudre une équation ou inéquation exponentielle en comparant les exposants (égalité et ordre).
5. Savoir dériver e^x et des expressions construites avec e^x (produit et quotient) comme dans les exemples.
6. Savoir dériver e^kt et des formes associées (exemples : 5e^-3t, t e^-t, 4/e^t).