Lernzettel: Géométrie dans l'espace: notions essentielles

📋 Plan du Cours

1. Repère orthonormé et coordonnées
2. Vecteurs et coplanarité
3. Norme, distance et produit scalaire
4. Plans et vecteurs normaux
5. Droites paramétriques et positions relatives
6. Distances aux plans et sphères
7. Angles entre droites et plans
8. Exercices types bac
9. Questions fréquentes et erreurs

📖 1. Repère orthonormé et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Repère orthonormé de l’espace : choix d’une origine O et de trois vecteurs unitaires perpendiculaires deux à deux, i, j, k.
• Coordonnées d’un point : Coordonnées d’un point M : valeurs x, y, z telles que le vecteur OM s’écrit x·i + y·j + z·k.
• Vecteur AB : Vecteur AB : différence coordonnée par coordonnée entre B(xB,yB,zB) et A(xA,yA,zA).
• Milieu de [AB] : Milieu de [AB] : point dont les coordonnées sont la moyenne de celles de A et de B, composante par composante.

📝 Points essentiels

• Si M(x,y,z), alors OM = x·i + y·j + z·k dans un repère orthonormé (i ⟂ j ⟂ k et |i|=|j|=|k|=1).
• Le vecteur AB vaut (xB−xA ; yB−yA ; zB−zA).
• Le milieu de [AB] est ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ; (zA+zB)/2).
• Axe Ox : y=0 et z=0 ; axe Oy : x=0 et z=0 ; axe Oz : x=0 et y=0.
• Plans : Oxy ⇔ z=0, Oxz ⇔ y=0, Oyz ⇔ x=0.

💡 Astuce mémo

Coordonnées = “décomposition de OM” sur (i,j,k) : x, y, z sont les coefficients.

📖 2. Vecteurs et coplanarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication par un réel : Multiplication d’un vecteur par λ : on multiplie chaque coordonnée par λ, pour obtenir (λx ; λy ; λz).
• Vecteurs coplanaires : Vecteurs coplanaires : trois vecteurs u, v, w vérifient l’existence de réels α et β tels que w = αu + βv.

📝 Points essentiels

• Addition : (x1+x2 ; y1+y2 ; z1+z2) et soustraction : (x1−x2 ; y1−y2 ; z1−z2), comme en 2D avec une coordonnée z en plus.
• Colinéarité : u et v sont colinéaires si u = k·v pour un réel k.
• Pour tester w = αu + βv, on résout en pratique un système de 3 équations correspondant aux coordonnées x, y, z.

💡 Astuce mémo

Coplanarité = “un vecteur se fabrique à partir des deux autres” : w = αu + βv.

📖 3. Norme, distance et produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : Norme d’un vecteur u(x,y,z) : longueur du vecteur, égale à √(x² + y² + z²).
• Distance entre deux points : Distance entre A et B : longueur du segment AB, obtenue avec le même calcul que la norme sur le vecteur AB.
• Produit scalaire : Produit scalaire : pour u(x1,y1,z1) et v(x2,y2,z2), on calcule u·v = x1x2 + y1y2 + z1z2.
• Perpendicularité : Perpendicularité : deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire vaut 0.

📝 Points essentiels

• Distance/longueur : AB = √((xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²).
• Norme : ‖u‖ = √(x² + y² + z²) ; exemple u(2,−1,3) donne √14.
• Lien angle-produit scalaire : u·v = ‖u‖‖v‖cos(θ) et on obtient cos(θ) via la formule.
• Perpendicularité : u ⊥ v ⇔ u·v = 0 ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire : “produits coordonnée à coordonnée puis somme” ; le 0 dit “perpendiculaires”.

📖 4. Plans et vecteurs normaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal à un plan : Vecteur normal : un vecteur n est normal à un plan P s’il est perpendiculaire à tous les vecteurs directeurs du plan.
• Équation cartésienne d’un plan : Équation cartésienne : tout plan peut s’écrire ax + by + cz + d = 0, avec n(a,b,c) vecteur normal.

📝 Points essentiels

• Deux plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires, et ils sont perpendiculaires ssi leurs vecteurs normaux sont perpendiculaires.
• Pour trouver un vecteur normal n(a,b,c) d’un plan contenant u et v : on impose n·u = 0 et n·v = 0.
• Méthode équation du plan : trouver n, écrire ax+by+cz+d=0, puis déterminer d en substituant un point du plan.
• Exemple : n(2,−1,4) donne le plan 2x − y + 4z + d = 0, et avec A(1,2,3) on obtient d = −12.

💡 Astuce mémo

Normal = “orthogonal à tout ce qui vit dans le plan” : n·u = 0 pour tout vecteur u du plan.

📖 5. Droites paramétriques et positions relatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation paramétrique d’une droite : Représentation paramétrique : une droite passant par A(x0,y0,z0) avec vecteur directeur u(l,m,n) s’écrit avec un paramètre t.
• Vecteur directeur d’une droite : Vecteur directeur : vecteur non nul porté par la droite et utilisé dans l’écriture paramétrique.
• Position relative droite/plan : Position relative droite/plan : la relation entre une droite et un plan dépend de l’orientation (produit scalaire avec le normal) et du point testé.

📝 Points essentiels

• Forme paramétrique : x=x0+tl, y=y0+tm, z=z0+tn avec t réel.
• Droite coupe un plan : si u·n ≠ 0, on substitue la paramétrisation dans l’équation du plan et on résout pour t.
• Droite ⊂ plan : si u·n = 0 et un point de la droite est dans le plan (équation vérifiée).
• Droite ∥ plan : si u·n = 0 et aucun point de la droite ne vérifie l’équation du plan (point hors du plan).
• Droite ⟂ plan : si u est colinéaire à n, alors la direction de la droite est perpendiculaire au plan.

💡 Astuce mémo

u·n pilote tout : nul ⇒ parallèle ou incluse ; non nul ⇒ coupe.

📖 6. Distances aux plans et sphères

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance point-plan : Distance d’un point M à un plan ax+by+cz+d=0 : d(M,P)=|axM+byM+czM+d|/√(a²+b²+c²).
• Sphère : Sphère de centre Ω(a,b,c) et rayon r : ensemble des points M(x,y,z) vérifiant (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r².
• Centre et rayon d’une sphère : Centre et rayon : le centre est Ω(a,b,c) et le rayon r est la racine du membre constant dans l’équation mise sous la forme canonique.

📝 Points essentiels

• Distance point-plan : d(M,P)=|axM+byM+czM+d|/√(a²+b²+c²), avec une valeur absolue pour garantir une distance positive.
• Distance entre plans parallèles P1 et P2 : se calcule comme la distance d’un point d’un plan à l’autre plan, ce qui donne un résultat constant.
• Exemple distance : A(1,2,3) au plan 2x−y+2z−1=0 donne d=5/3.
• Position plan/sphère via d et r : si d>r le plan ne coupe pas, si d=r le plan est tangent, si d<r il coupe en cercle.

💡 Astuce mémo

Distance point-plan = “valeur absolue sur la norme du normal” : numérateur signé, dénominateur toujours positif.

📖 7. Angles entre droites et plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle entre deux vecteurs (droites) : Angle entre deux droites via leurs vecteurs directeurs : le cosinus se calcule avec |u·v|/(‖u‖‖v‖) pour obtenir un angle aigu ou droit.
• Angle entre une droite et un plan : Angle droite-plan : le sinus se calcule avec |u·n|/(‖u‖‖n‖) où u est directeur et n est normal au plan.

📝 Points essentiels

• Angle entre deux droites (ou vecteurs) : cos(θ)=|u·v|/(‖u‖‖v‖) avec θ dans [0°,90°].
• Angle droite-plan : sin(α)=|u·n|/(‖u‖‖n‖) où α est le complémentaire de l’angle entre u et n.
• Exemple : pour la droite de vecteur u(1,1,0) et le plan z=0, n(0,0,1) donne u·n=0 donc α=0°.

💡 Astuce mémo

Droite-plan : on utilise le normal n, et le 0 de u·n annonce une direction parallèle au plan.

📖 8. Exercices types bac

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan par trois points : Déterminer un plan par trois points : on utilise les vecteurs AB et AC pour obtenir un vecteur normal puis une équation ax+by+cz+d=0.
• Pied de la perpendiculaire : Pied de la perpendiculaire : point d’un plan défini par la droite passant par M et de direction normale au plan, ce point vérifie la condition d’appartenance.
• Plans tangents à une sphère : Plan tangent à une sphère : un plan P est tangent quand la distance du centre de la sphère au plan P est égale au rayon.

📝 Points essentiels

• Exercice plan : pour A(2,0,1), B(1,3,0), C(0,1,2), on obtient l’équation 4x+3y+5z−13=0 vérifiée par B et C.
• Exercice distance : pour P : 3x−4y+12z+2=0 et M(1,1,1), on trouve d(M,P)=1 et le pied H vaut (10/13 ; 17/13 ; 1/13).
• Exercice tangent : sphère S : (x−1)²+(y−2)²+(z+1)²=14 et plan 2x+y−3z+d=0 sont tangents pour d=7 ou d=−21.

💡 Astuce mémo

Bac “tangent” : d(centre, plan)=r ; bac “plan” : normal issu de deux directions du plan.

📖 9. Questions fréquentes et erreurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode pour un vecteur normal (système) : Vecteur normal par système : si le plan contient u et v, on cherche n tel que n·u=0 et n·v=0, puis on résout avec une inconnue choisie librement.
• Vérifier l’appartenance d’un point à une droite paramétrique : Appartenance à une droite paramétrique : on substitue les coordonnées du point dans les trois équations et on vérifie l’existence d’un même paramètre t.

📝 Points essentiels

• Vecteur normal via système : avec n(x,y,z), on obtient deux équations et on choisit librement une coordonnée (exemple y=1) pour résoudre les deux autres.
• Différence parallèle vs appartenant : u·n=0 dans les deux cas, mais pour appartenir un point de la droite doit aussi vérifier l’équation du plan.
• Vérification droite paramétrique : les trois équations doivent donner le même t pour que le point appartienne à la droite.
• Absence d’une sphère réelle : après complétion des carrés, si le membre de droite devient négatif, l’équation ne représente pas une sphère réelle.
• Distance point-plan : la valeur absolue supprime le signe et rend la distance positive même si le point est de l’autre côté du plan.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre droite parallèle et droite incluse : u·n=0 seul ne suffit pas, il faut vérifier qu’un point de la droite satisfait l’équation du plan.
2. Oublier la valeur absolue dans d(M,P) : on obtient une distance potentiellement négative au lieu d’une valeur positive.
3. Prendre l’angle droit au lieu de l’aigu : pour deux droites, on utilise |u·v| pour que θ reste dans [0°,90°].
4. Se tromper de vecteur dans la formule droite-plan : il faut bien u vecteur directeur de la droite et n vecteur normal du plan.
5. Mauvaise écriture de la distance point-plan : le dénominateur est √(a²+b²+c²), pas la norme du point ou autre quantité.
6. Erreur de t dans l’appartenance à une droite paramétrique : les trois équations doivent donner le même paramètre t.
7. Confondre normal et vecteur directeur : pour la position relative, le normal du plan est celui utilisé dans les produits scalaires u·n.

✅ Checklist Examen

1. Écrire les coordonnées d’un point M(x,y,z) à partir de OM sur un repère orthonormé avec i, j, k.
2. Calculer un vecteur AB et le milieu de [AB] à partir des coordonnées de A et B.
3. Appliquer les formules de somme, soustraction et multiplication par un réel sur des vecteurs en 3 coordonnées.
4. Tester une colinéarité u=k·v et une coplanarité w=αu+βv en résolvant les équations sur x, y, z.
5. Calculer une norme ‖u‖ et une distance AB à l’aide de √(x²+y²+z²) avec les différences de coordonnées.
6. Utiliser u·v=x1x2+y1y2+z1z2 et déduire perpendicularité quand u·v=0.
7. Déterminer un vecteur normal à un plan via n·u=0 et n·v=0 pour deux vecteurs contenus dans le plan.
8. Établir l’équation cartésienne d’un plan ax+by+cz+d=0 en trouvant d par substitution d’un point du plan.
9. Relier positions de plans : parallélisme ↔ normaux colinéaires et perpendicularité ↔ normaux perpendiculaires.
10. Écrire correctement la représentation paramétrique d’une droite à partir de A et d’un vecteur directeur u(l,m,n).
11. Déterminer si une droite coupe un plan en testant u·n et en résolvant pour t après substitution.
12. Relever la condition de parallélisme/inclusion avec u·n=0 puis vérifier avec un point de la droite.
13. Calculer la distance point-plan avec la formule à valeur absolue et interpréter d>r, d=r, d<r pour plan/sphère.
14. Évaluer l’angle entre deux droites à partir de cos(θ)=|u·v|/(‖u‖‖v‖) et l’angle droite-plan via sin(α)=|u·n|/(‖u‖‖n‖).