x·i + y·j + z·k
Erklärung
Dans un repère orthonormé, les coordonnées de M sont précisément les coefficients de décomposition de OM sur i, j et k. Les vecteurs i, j et k sont unitaires et perpendiculaires deux à deux.
((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 ; (zA + zB)/2)
Erklärung
Le milieu d’un segment a pour coordonnées la moyenne de celles des deux extrémités, composante par composante. La différence coordonnée par coordonnée correspond plutôt au vecteur AB.
Quand w peut s’écrire sous la forme αu + βv
Erklärung
Trois vecteurs sont coplanaires si l’un d’eux se décompose comme combinaison linéaire des deux autres. La colinéarité n’est qu’un cas particulier plus restrictif.
(λx ; λy ; λz)
Erklärung
Multiplier un vecteur par un réel revient à multiplier chacune de ses coordonnées par ce réel. C’est la règle de base du calcul vectoriel en coordonnées.
√(x² + y² + z²)
Erklärung
La norme d’un vecteur est sa longueur, calculée par la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées. C’est la même formule que pour la distance via le vecteur AB.
Lorsque leur produit scalaire est nul
Erklärung
Deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire vaut 0. L’égalité des normes ou la colinéarité ne suffit pas à conclure.
Un vecteur perpendiculaire à tous les vecteurs directeurs du plan
Erklärung
Un vecteur normal est orthogonal à tous les vecteurs contenus dans le plan. Il sert notamment à écrire une équation cartésienne du plan.
Le vecteur (a, b, c) est un vecteur normal au plan
Erklärung
Dans l’équation ax + by + cz + d = 0, le vecteur (a, b, c) est normal au plan. Le terme d se détermine ensuite en remplaçant par les coordonnées d’un point du plan.
x = x0 + tl, y = y0 + tm, z = z0 + tn
Erklärung
Une droite paramétrique s’écrit à partir d’un point de la droite et d’un vecteur directeur, avec un même paramètre t dans les trois coordonnées. C’est la forme standard en géométrie de l’espace.
La droite est parallèle au plan ou incluse dans le plan
Erklärung
Si le produit scalaire entre le vecteur directeur u de la droite et le vecteur normal n du plan est nul, la direction de la droite est parallèle au plan. Il faut ensuite vérifier si un point de la droite appartient au plan pour distinguer parallèle et incluse.
|axM + byM + czM + d| / √(a² + b² + c²)
Erklärung
La distance point-plan s’obtient par la valeur absolue de l’expression du plan, divisée par la norme du vecteur normal. La racine porte sur la somme des carrés de a, b et c, pas sur le point M.
Le plan est tangent à la sphère
Erklärung
Quand la distance du centre au plan vaut exactement le rayon, le plan touche la sphère en un seul point : il est tangent. Si la distance est inférieure au rayon, le plan coupe la sphère en un cercle.
cos(θ) = |u·v| / (‖u‖‖v‖)
Erklärung
L’angle entre deux droites se calcule à partir du produit scalaire, avec la valeur absolue pour obtenir un angle aigu. Les autres expressions ne correspondent pas à la formule demandée.
sin(α) = |u·n| / (‖u‖‖n‖)
Erklärung
Pour un angle droite-plan, on utilise le sinus avec le vecteur normal du plan. La formule en cosinus concerne plutôt l’angle entre deux vecteurs, pas entre une droite et un plan.
Former AB et AC, trouver un vecteur normal, puis écrire ax + by + cz + d = 0
Erklärung
Avec trois points, on construit deux vecteurs du plan, par exemple AB et AC, puis on cherche un vecteur normal pour écrire l’équation cartésienne. Le milieu ou une simple distance ne suffisent pas à déterminer le plan.
La distance du centre de la sphère au plan doit être égale au rayon
Erklärung
Un plan est tangent à une sphère lorsque la distance entre le centre et le plan est exactement égale au rayon. Si cette distance est inférieure, le plan coupe la sphère en un cercle.
Obtenir trois valeurs différentes de t
Erklärung
Un point appartient à une droite paramétrique seulement si les trois équations donnent le même paramètre t. Si les valeurs de t diffèrent, le point n’est pas sur la droite.
u·n = 0 ne suffit pas ; il faut aussi vérifier qu’un point de la droite satisfait l’équation du plan
Erklärung
Le produit scalaire nul entre le vecteur directeur de la droite et le normal du plan montre seulement le parallélisme. Pour conclure à l’inclusion, il faut encore vérifier qu’un point de la droite appartient bien au plan.
Merke dir die Antworten mit 18 Karteikarten zu Géométrie dans l'espace: notions essentielles.
Repère orthonormé — définition ?
Système avec origine et trois axes perpendiculaires.
Coordonnées d’un point — rôle ?
Représenter le point dans un repère orthonormé.
Vecteur AB — formule ?
(xB−xA, yB−yA, zB−zA).
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