Lernzettel: Géométrie vectorielle dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs du plan
2. Égalité et vecteur nul
3. Somme de vecteurs et Chasles
4. Produit par un réel
5. Colinéarité de vecteurs
6. Vecteurs dans un repère
7. Coordonnées, milieu et norme
8. Déterminant et colinéarité

📖 1. Vecteurs du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur AB : Un vecteur AB est caractérisé par sa norme, sa direction et son sens de A vers B.
• Origine du vecteur : L’origine du vecteur est le point utilisé comme point de départ pour définir le vecteur.
• Extrémité du vecteur : L’extrémité du vecteur est le point d’arrivée qui fixe la position du vecteur.
• Vecteur nul : Le vecteur nul est le vecteur réduit à un point, noté −→0, et il a pour norme 0.

📝 Points essentiels

• La norme de −→AB vaut ||−→AB|| et est égale à la longueur AB.
• Le vecteur −→AA correspond au vecteur nul −→0.
• L’égalité de vecteurs signifie même direction, même sens et même norme.

📖 2. Égalité et vecteur nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité de vecteurs : Deux vecteurs égaux ont exactement les mêmes caractéristiques géométriques dans le plan.
• Vecteur opposé : Le vecteur opposé −~u a la même direction et la même norme que ~u, mais un sens contraire.

📝 Points essentiels

• On a ~u + (−~u) = ~0.
• Pour deux points A et B, on a −−→AB = −→BA.
• −→AB = −→CD si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

📖 3. Somme de vecteurs et Chasles

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : La relation de Chasles relie une somme de vecteurs entre points successifs au vecteur direct.
• Parallélogramme : Un parallélogramme est un quadrilatère pour lequel des vecteurs correspondants sont égaux.

📝 Points essentiels

• La translation de ~u suivie de celle de ~v donne un vecteur ~w tel que ~w = ~u + ~v.
• Pour tous points A, B et C : −→AB + −→BC = −→AC.
• Si −→AD = −→AB + −→AC alors −→CD = −→AB et ABDC est un parallélogramme.

📖 4. Produit par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit k~u : Le produit k~u est un vecteur obtenu en étirant ou compressant ~u puis en gardant ou inversant son sens selon k.
• Réel k : Le réel k règle l’intensité du produit et décide du sens du vecteur obtenu.

📝 Points essentiels

• Si u est non nul, alors ku a la même direction que ~u et le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0.
• La norme vaut ||k~u|| = |k| × ||u|| et ku = ~0 si k = 0 ou si ~u = ~0.
• Pour deux vecteurs ~u et ~v : k(u + v) = ku + kv, (k + k′)u = ku + k′~u et k(k′~u) = (kk′)~u.

📖 5. Colinéarité de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs colinéaires sont portés par la même direction, donc proportionnels.
• Vecteur nul colinéaire : Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs non nuls ~u et ~v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que u = kv.
• Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s’ils ont la même direction.
• (AB)//(CD) si et seulement si −→AB et −→CD sont colinéaires.
• A, B et C sont alignés si et seulement si −→AB et −→AC sont colinéaires.

📖 6. Vecteurs dans un repère

🔑 Notions clés & Définitions

• Base orthonormée : Une base orthonormée est formée de deux vecteurs notés ~i et ~j, perpendiculaires et de norme 1.
• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur sont les réels (x ; y) tels que u = xi + y~j.
• Vecteur directeur ~i : Le vecteur ~i représente −→OI dans le repère et sert de direction à la première coordonnée.
• Vecteur directeur ~j : Le vecteur ~j représente −→OJ dans le repère et sert de direction à la seconde coordonnée.

📝 Points essentiels

• Tout vecteur u du plan s’écrit de façon unique u = xi + yj, donc ~u(x ; y).
• Le vecteur nul a pour coordonnées (0 ; 0) car ~0 = 0×~i + 0×~j.
• Si ~u(x ; y) et ~v(x′ ; y′), alors ~u + ~v a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′).
• Si u(x ; y), alors ku a pour coordonnées (kx ; ky).

📖 7. Coordonnées, milieu et norme

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées du vecteur AB : Les coordonnées de −→AB sont données par la différence des coordonnées des points B et A.
• Milieu d’un segment : Le milieu d’un segment est le point dont les coordonnées sont les moyennes des coordonnées des extrémités.
• Norme via Pythagore : La norme d’un vecteur dans un repère orthonormé se calcule avec le théorème de Pythagore sur les différences de coordonnées.

📝 Points essentiels

• Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors les coordonnées de −→AB sont (xB − xA ; yB − yA).
• Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors le milieu de [AB] a pour coordonnées ( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 ).
• La norme de −→AB vérifie AB = ||−→AB|| = sqrt((xB − xA)^2 + (yB − yA)^2).
• Dans l’exemple, les segments [AC] et [BD] ont le même milieu, puis on calcule AB et BC pour en déduire la nature du quadrilatère.

📖 8. Déterminant et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant de deux vecteurs : Le déterminant det(~u ; ~v) est le réel calculé à partir des coordonnées de deux vecteurs.

📝 Points essentiels

• Si ~u(x ; y) et ~v(x′ ; y′), alors det(~u ; ~v) = xy′ − x′y.
• Les vecteurs ~u et ~v sont colinéaires si et seulement si det(~u ; ~v) = 0.
• On a aussi l’équivalence : det(~u ; ~v)=0 ⇔ il existe k tel que u = kv (coordonnées proportionnelles).
• Les points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs −→AB et −→AC sont colinéaires.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’égalité de vecteurs (même direction, sens et norme) avec la colinéarité (même direction seulement) conduit à des erreurs lors des parallélismes et alignements.
2. Penser que le produit k~u conserve toujours le sens est faux : pour k < 0, le sens est inversé.
3. Oublier que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur peut casser une justification d’alignement ou de parallélisme.
4. Se tromper dans les formules de coordonnées du vecteur : −→AB = (xB − xA ; yB − yA) et non l’inverse.
5. Utiliser la mauvaise expression de la norme : il faut calculer sqrt((dx)^2 + (dy)^2) à partir des différences de coordonnées.

✅ Checklist Examen

1. Définir correctement un vecteur du plan à partir de sa direction, son sens et sa norme, et identifier l’origine et l’extrémité.
2. Savoir reconnaître le vecteur nul comme −→AA = −→0 et donner ses propriétés (norme nulle, absence de direction et de sens).
3. Utiliser la caractérisation de −→AB = −→CD comme équivalence à un parallélogramme ABDC.
4. Appliquer la relation de Chasles −→AB + −→BC = −→AC pour simplifier des expressions de vecteurs.
5. Vérifier un parallélogramme à partir d’une écriture du type −→AD = −→AB + −→AC.
6. Calculer la direction, le sens et la norme de ku selon le signe de k, et conclure que ku = ~0 si k=0 ou ~u=~0.
7. Maitriser les propriétés de calcul sur les produits : k(~u + ~v), (k + k′)~u et k(k′~u).
8. Déterminer si deux vecteurs non nuls sont colinéaires en trouvant k tel que u = kv, et traiter le cas du vecteur nul.
9. Relier vecteurs colinéaires aux parallélismes de droites (AB)//(CD) et aux alignements de points A, B, C.
10. Écrire un vecteur dans une base orthonormée : u = xi + y~j et lire ses coordonnées (x ; y).
11. Calculer les coordonnées de −→AB et du milieu d’un segment à partir de A(xA ; yA) et B(xB ; yB).
12. Calculer une distance AB et une norme ||−→AB|| avec sqrt((xB − xA)^2 + (yB − yA)^2).
13. Calculer det(~u ; ~v) = xy′ − x′y et utiliser det(~u ; ~v)=0 pour conclure à la colinéarité.