Lernzettel: Introduction à la dérivée et ses applications

📋 Plan du Cours

1. Définition et existence de la fonction dérivée
2. Calcul de la dérivée par limite du taux d'accroissement
3. Formules des dérivées des fonctions usuelles et opérations sur fonctions
4. Exemples d'application des règles de dérivation
5. Tableau de variation et extremum d'une fonction à partir de la dérivée

📖 1. Définition et existence de la fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : déterminer la fonction dérivée de f(x) = x³

📝 Points essentiels

• Soit f une fonction définie sur un ensemble D.
• Une fonction f définie sur un ensemble D est dite dérivable sur une partie I de D lorsque le nombre dérivé f'(a) existe pour tout a de I.

💡 À retenir

Soit f une fonction définie sur un ensemble D.

📖 2. Calcul de la dérivée par limite du taux d'accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d'accroissement : quotient qui compare la variation de la fonction à la variation de la variable, sous la forme $(f(a+R)-f(a))/R$.
• Limite : valeur obtenue quand $R$ tend vers $0$, utilisée ici pour passer du quotient de variation au nombre dérivé.
• Variable d'accroissement : quantité $R$ qui représente l’augmentation appliquée à l’abscisse et qui tend vers $0$ dans le calcul.
• Dérivation en un point : calcul du nombre dérivé en $a$ à partir de la limite du taux d’accroissement quand l’accroissement tend vers $0$.

📝 Points essentiels

• Le calcul de la dérivée en un point passe par la limite du taux d’accroissement quand l’accroissement tend vers $0$.
• Pour $f(x)=x^3$, on étudie le quotient $\big((x+R)^3-x^3\big)/R$ avant de prendre la limite.
• Le développement algébrique du numérateur permet d’isoler les termes en $R$ puis de faire tendre $R$ vers $0$.
• Dans l’exemple traité, la limite donne $f'(a)=3a^2$.

💡 À retenir

La méthode locale suit toujours la même logique : écrire le quotient, développer le numérateur, puis faire tendre l’accroissement vers $0$. Cette démarche permet d’obtenir directement le nombre dérivé au point étudié.

📖 3. Formules des dérivées des fonctions usuelles et opérations sur fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions de référence : Formule fonction dérivée des fonctions de références

📝 Points essentiels

• La fonction constante a pour dérivée 0.
• La fonction identité x a pour dérivée 1.
• La fonction x² a pour dérivée 2x.
• La fonction x³ a pour dérivée 3x².
• La fonction x^m a pour dérivée m x^(m-1).
• La fonction 1/x est dérivable sur R* et sa dérivée vaut -1/x² sur R*.

💡 À retenir

Il faut retenir les dérivées des fonctions de référence pour éviter de repartir de la définition. Les règles sur la somme, le produit, le quotient et le coefficient constant permettent ensuite de dériver des expressions composées.

📖 4. Exemples d'application des règles de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : fonction de la forme $ax+b$, dont la dérivée est constante. Dans l’exemple donné, $f(x)=-3x+5$ a pour dérivée $f'(x)=-3$.
• Fonction polynomiale : fonction construite à partir de puissances de $x$ additionnées à des constantes ; sa dérivation se fait terme à terme avec les règles usuelles. Dans l’exemple, $g(x)=4x^2-5x+2$ donne $g'(x)=8x-5$.
• Fonction rationnelle : fonction qui contient un quotient ou une écriture équivalente avec une puissance négative au dénominateur ; sa dérivée peut nécessiter la règle du quotient ou la réécriture des termes. Dans l’exemple, $R(x)=x^2-\frac{1}{x}$ conduit à $R'(x)=2x+\frac{1}{x^2}$.
• Fonction avec racine : fonction qui contient une expression de type $\sqrt{x}$ ; sa dérivée utilise la dérivée de $\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty[$, et celle de $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, définie sur $]0;+\infty[$. Dans l’exemple, $i(x)=2x-\frac{1}{\sqrt{x}}$ a pour dérivée $i'(x)=2-\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=-3x+5$, la dérivée est $f'(x)=-3$.
• Pour $g(x)=4x^2-5x+2$, la dérivée est $g'(x)=8x-5$.
• Pour $R(x)=x^2-\frac{1}{x}$, la dérivée combine la dérivée de $x^2$ et celle de $\frac{1}{x}$ pour donner $R'(x)=2x+\frac{1}{x^2}$.
• Pour $i(x)=2x-\frac{1}{\sqrt{x}}$, la dérivée est $i'(x)=2-\frac{1}{2\sqrt{x}}$, puis peut aussi s’écrire sous forme de fraction unique :
• $
• i'(x)=\frac{4\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}.
• $

💡 À retenir

Savoir enchaîner les règles sur des expressions composées permet d’obtenir vite une dérivée exploitable. L’objectif est de reconnaître la forme de la fonction, d’appliquer la bonne règle terme à terme, puis de simplifier le résultat.

📖 5. Tableau de variation et extremum d'une fonction à partir de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété : Règle sur une fonction dérivable sur D : si f'(x) > 0 sur une partie I de D, alors f est croissante sur I, et si f'(x) < 0 sur une partie I de D, alors f est décroissante sur I.
• Tableau de variation : II tableau de variation et extremum d'une fonction

📝 Points essentiels

• Les variations de la fonction f se déterminent à partir du signe de f'.
• La réciproque de la propriété de monotonie est vraie.
• Remarque : On établit les variations de la fonction f à partir du signe de f'. La réciproque de la propriété précédente est vraie.
• Si f'(x) > 0 sur une partie I de D, alors f est croissante sur I Si f'(x) < 0 sur une partie I de D, alors f est décroissante sur I.

💡 À retenir

Le signe de la dérivée permet de conclure sur le sens de variation d’une fonction dérivable. Le tableau de variation rassemble ces informations et aide à repérer les extremums.

📊 Tableaux de Synthèse

Dérivées usuelles

Signe de f' et variations

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre le taux d’accroissement (f(a+R)-f(a))/R avec le nombre dérivé : le dérivé vient de la limite quand R tend vers 0.
2. Oublier de développer le numérateur avant de faire tendre l’accroissement vers 0 dans le calcul de f'(a).
3. Croire que la fonction dérivable sur D l’est forcément partout : elle est dite dérivable sur une partie I de D lorsque f'(a) existe pour tout a de I.
4. Confondre la dérivée de x² et celle de x³ : x² donne 2x, x³ donne 3x².
5. Oublier que 1/x est dérivable seulement sur R* et que sa dérivée vaut -1/x² sur R*.
6. Inverser le lien entre signe de f' et variations : f' > 0 implique croissante, f' < 0 implique décroissante.

✅ Checklist Examen

1. Définir une fonction dérivable sur une partie I de D.
2. Écrire le taux d’accroissement sous la forme (f(a+R)-f(a))/R.
3. Faire tendre l’accroissement R vers 0 pour obtenir le nombre dérivé.
4. Savoir que pour f(x)=x³, la limite conduit à f'(a)=3a².
5. Retenir la dérivée de la fonction constante.
6. Retenir la dérivée de x, de x² et de x³.
7. Retenir la formule de dérivation de x^m.
8. Retenir que la dérivée de 1/x vaut -1/x² sur R*.
9. Dériver une fonction affine comme -3x+5.
10. Dériver une fonction polynomiale comme 4x²-5x+2.
11. Lire le signe de f' pour conclure sur les variations de f.
12. Utiliser le tableau de variation pour repérer les extremums.