Lernzettel: Introduction à la géométrie et astronomie

📋 Plan du Cours

1. Angles en degrés et en radians
2. Angles et arcs de cercles
3. Sinus, cosinus et tangente
4. Propriétés du triangle et loi des sinus
5. Ératosthène et mesure du rayon terrestre
6. Latitude, longueur d’arc et calcul de la circonférence
7. Du géocentrisme à l’héliocentrisme
8. Mouvements de la Lune et phases

📖 1. Angles en degrés et en radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré : Unité d’angle notée en °, utilisée pour mesurer la taille d’un angle en fraction de 180°.
• Radian : Unité d’angle notée rad, liée à la mesure d’un angle par rapport à π et à la géométrie du cercle.
• Conversion degrés vers radians : Relation de conversion qui transforme une mesure en degrés $d(°)$ en une mesure en radians $\theta(\text{rad})$ via $\theta=\pi d/180$.
• Conversion radians vers degrés : Relation de conversion qui transforme une mesure en radians $\theta(\text{rad})$ en degrés $d(°)$ via $d=180\theta/\pi$.

📝 Points essentiels

• On a la relation fondamentale $180°=\pi\,\text{rad}$.
• On obtient $90°=\pi/2$, $60°=\pi/3$ et $30°=\pi/6$.
• La conversion $d(°)\to\theta(\text{rad})$ suit $\theta=\pi\,d(°)/180$.
• La conversion $\theta(\text{rad})\to d(°)$ suit $d(°)=180\,\theta/\pi$.
• Pour $30°$, on trouve $\theta\approx 0,52\,\text{rad}$.
• Pour $2,5\,\text{rad}$, on trouve $d\approx 14,5°$.

💡 Astuce mémo

180° correspond à π rad : « 180 contre π ».

📖 2. Angles et arcs de cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle au centre : Angle $\theta$ formé au centre d’un cercle, associé à l’ouverture qui intercepte un arc.
• Arc de cercle : Longueur $L$ de la portion de cercle interceptée par un angle au centre.
• Relation angle-rayon : Formule reliant l’angle $\theta$ (en rad) au rayon $R$ et à la longueur associée.
• Relation arc-angle : Formule qui relie la longueur d’arc $L$ à l’angle $\theta$ et au rayon $R$.

📝 Points essentiels

• Le schéma relie un angle $\theta$ au centre, un rayon $R$ et une longueur d’arc $L$.
• La relation donnée est $\theta=R/r\,\text{rad}$ (notation du cours).
• La relation donnée est aussi $L=R\times\theta$.
• Quand $\theta$ est exprimé en radians, la formule $L=R\theta$ s’utilise directement.
• Le cours utilise l’idée que l’arc dépend à la fois du rayon et de l’angle.
• Le lien angle↔arc sert ensuite au calcul de la circonférence et de longueurs d’arc.

💡 Astuce mémo

Arc = Rayon × Angle : $L=R\theta$.

📖 3. Sinus, cosinus et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Sinus : Fonction trigonométrique d’un angle $\alpha$ définie comme le rapport de la longueur opposée à l’hypoténuse.
• Cosinus : Fonction trigonométrique d’un angle $\alpha$ définie comme le rapport de la longueur adjacente à l’hypoténuse.
• Tangente : Fonction trigonométrique d’un angle $\alpha$ définie comme le rapport de la longueur opposée à la longueur adjacente.
• Triangle rectangle : Triangle avec un angle droit, utilisé pour définir les rapports sinus, cosinus et tangente.

📝 Points essentiels

• Dans le triangle rectangle, $\sin\alpha=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$.
• Dans le triangle rectangle, $\cos\alpha=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
• La tangente vérifie $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
• La tangente vaut aussi $\tan\alpha=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
• Le cours associe explicitement opposé à $BH$ et adjacent à $AH$ dans le schéma.
• Ces rapports sont utilisés dans l’activité pour relier une ombre et une hauteur via une tangente.

💡 Astuce mémo

Opposé/Hypoténuse = sinus ; Adjacent/Hypoténuse = cosinus ; Opposé/Adjacent = tangente.

📖 4. Propriétés du triangle et loi des sinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des angles d’un triangle : Propriété géométrique qui relie les trois angles internes d’un triangle à une constante.
• Loi des sinus : Relation qui relie les côtés d’un triangle aux sinus des angles opposés.
• Angles opposés aux côtés : Correspondance géométrique où chaque côté est associé à l’angle situé en face de lui.
• Triangle quelconque : Triangle sans contrainte particulière (ex. scalène) utilisé pour appliquer les propriétés générales.

📝 Points essentiels

• La somme des angles internes vérifie $\hat A+\hat B+\hat C=180°$.
• La loi des sinus s’écrit $\dfrac{a}{\sin\hat A}=\dfrac{b}{\sin\hat B}=\dfrac{c}{\sin\hat C}$.
• Dans l’exercice, $\hat A=32°$ et $\hat B=126°$.
• On calcule $\hat C=180°-(32°+126°)=22°$.
• Avec $c=AB=5\,\text{cm}$, on obtient $b=\dfrac{\sin126°\times 5}{\sin22°}\approx 10,8\,\text{cm}$.
• On obtient ensuite $a=\dfrac{\sin32°\times 10,8}{\sin126°}\approx 7,1\,\text{cm}$.

💡 Astuce mémo

Triangle : 180° pour la somme, puis côtés via $a/\sin A$.

📖 5. Ératosthène et mesure du rayon terrestre

🔑 Notions clés & Définitions

• Rayons parallèles : Propriété géométrique selon laquelle une source lointaine envoie des rayons qui arrivent parallèlement.
• Soleil comme source lointaine : Idée utilisée pour considérer que les rayons solaires sont parallèles entre eux.
• Hauteur de Ptolémée : Valeur de hauteur utilisée dans le calcul de l’angle à partir d’une ombre et d’une tangente.
• Ombre de Ptolémée : Valeur de longueur d’ombre utilisée pour déterminer l’angle d’inclinaison des rayons.

📝 Points essentiels

• Quand la source lumineuse est éloignée, les rayons reçus sont parallèles entre eux.
• Le cours conclut que les rayons lumineux issus du Soleil sont parallèles entre eux.
• Le calcul utilise $AH=0,19\,\text{stade}$ comme hauteur de Ptolémée.
• Le calcul utilise $HB=0,024\,\text{stade}$ comme longueur de l’ombre.
• On applique $\tan\alpha=\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{0,024}{0,19}$ et on trouve $\alpha\approx 7,2°$.
• La distance $AS$ est prise égale à $5000\,\text{stades}$ et sert à déduire la circonférence $P$ via une proportion avec $360°$.

💡 Astuce mémo

Ombre/hauteur → tangente : $\tan\alpha=HB/HA$ puis proportion $7,2°\to 5000$ stades.

📖 6. Latitude, longueur d’arc et calcul de la circonférence

🔑 Notions clés & Définitions

• Latitude : Angle mesurant l’écart angulaire par rapport à une référence, utilisé ici pour relier un angle à une longueur d’arc.
• Longueur d’arc : Distance le long d’un cercle correspondant à un angle au centre, notée $L$ dans le cours.
• Circonférence terrestre : Longueur totale d’un grand cercle de la Terre, notée $P$ dans les calculs.
• Conversion stade en millimètres : Facteur d’unité qui permet de transformer $1\,\text{stade}$ en une longueur en mm.

📝 Points essentiels

• Le cours utilise $AS=5000\,\text{stades}$ associé à un angle de $7,2°$.
• La proportion donnée est $7,2°\to 5000\,\text{stades}$ et $360°\to P=250\,000\,\text{stades}$.
• On utilise $1\,text{stade}=157,5\,\text{mm}$.
• On calcule $P=250\,000\times 157,5\,\text{mm}=3,94\times 10^7\,\text{m}=3,94\times 10^4\,\text{km}$.
• Le rayon est déduit par $P=2\pi R$ donc $R=P/(2\pi)$.
• On obtient $R=39\,400/\pi\approx 6\,300\,\text{km}$ dans le calcul du cours.

💡 Astuce mémo

Proportion angulaire : $\frac{7,2°}{360°}=\frac{5000}{P}$ puis $P=2\pi R$.

📖 7. Du géocentrisme à l’héliocentrisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle géocentrique : Modèle où la Terre est immobile et où le Soleil et la Lune sont décrits par des mouvements circulaires.
• Modèle héliocentrique : Modèle où le Soleil est immobile et où la Terre effectue un mouvement circulaire autour du Soleil.
• Épicycle : Petit mouvement circulaire utilisé pour représenter des trajectoires dans certains modèles géocentriques.
• Parallaxe : Effet de changement de position apparente d’un objet selon l’observateur, mesurable en distance.

📝 Points essentiels

• Dans le modèle géocentrique, la Terre est immobile.
• Dans le modèle géocentrique, le Soleil et la Lune sont décrits comme circulaires.
• Dans le modèle héliocentrique, le Soleil est immobile.
• Dans le modèle héliocentrique, la Terre a un mouvement circulaire autour du Soleil.
• Le cours indique que Ptolémée utilise des mouvements « épicyclo » autour de la Terre pour les planètes.
• Le cours affirme qu’une parallaxe peut être mesurée en km et que la parallaxe ferait 0 dans le cas considéré (formulation du cours).

💡 Astuce mémo

Géo : Terre fixe ; Hélio : Soleil fixe et Terre tourne.

📖 8. Mouvements de la Lune et phases

🔑 Notions clés & Définitions

• Phases de la Lune : Suite d’aspects visibles de la Lune (croissant, quartier, gibbeuse, pleine, décroissante) au cours du cycle.
• Pleine Lune : Phase où la Lune apparaît pleine dans la séquence des phases présentée.
• Gibbeuse décroissante : Phase de la séquence où la Lune est dans la partie décroissante avant le dernier quartier.
• Révolution lunaire : Mouvement orbital de la Lune autour de la Terre, associé à une durée de révolution.

📝 Points essentiels

• La séquence de phases présentée inclut : nouvelle lune, premier croissant, premier quartier, gibbeuse, pleine lune, gibbeuse décroissante, dernier quartier, dernier croissant.
• Le cours associe explicitement « Pleine Lune » à la phase b) dans la liste d’exemples.
• Le cours donne $R=384\,403\,\text{km}$ pour le rayon utilisé dans le calcul orbital.
• La longueur de l’orbite est calculée par $2\pi R$ et vaut $2\,415\,275\,\text{km}$.
• Une vitesse $t_0=1,023\,\text{m·s}^{-1}$ est utilisée dans le calcul de durée.
• Le cours conclut que la durée de révolution de la Lune autour de la Terre est approximativement égale à la durée de rotation de la Lune sur elle-même.

💡 Astuce mémo

Phases : croissant → quartier → gibbeuse → pleine → gibbeuse décroissante → dernier quartier → dernier croissant.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Géocentrisme vs héliocentrisme

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre degrés et radians : $180°=\pi$ mais $90°\neq 90\,\text{rad}$.
2. Utiliser $L=R\theta$ avec $\theta$ en degrés : la formule du cours suppose $\theta$ en radians.
3. Mélanger les rapports trigonométriques : le sinus utilise opposé/hypoténuse, pas opposé/adjacent.
4. Se tromper dans la loi des sinus : il faut associer chaque côté au sinus de l’angle opposé.
5. Oublier la proportion angulaire dans l’activité : $7,2°$ correspond à $5000$ stades, pas à $360°$.
6. Confondre les phases : la séquence donnée passe par premier quartier puis gibbeuse avant la pleine lune.

✅ Checklist Examen

1. Savoir convertir un angle entre degrés et radians avec $180°=\pi$ et les formules $\theta=\pi d/180$ et $d=180\theta/\pi$.
2. Savoir utiliser $L=R\theta$ pour relier longueur d’arc, rayon et angle au centre.
3. Savoir calculer avec les définitions : $\sin\alpha=\text{opposé}/\text{hypoténuse}$, $\cos\alpha=\text{adjacent}/\text{hypoténuse}$, $\tan\alpha=\text{opposé}/\text{adjacent}$.
4. Savoir appliquer $\hat A+\hat B+\hat C=180°$ et la loi des sinus $a/\sin\hat A=b/\sin\hat B=c/\sin\hat C$ à un triangle.
5. Savoir reproduire le calcul d’angle avec $\tan\alpha=HB/HA$ en utilisant $AH=0,19$ stade et $HB=0,024$ stade pour obtenir $\alpha\approx 7,2°$.
6. Savoir convertir la proportion angulaire en circonférence : $7,2°\to 5000$ stades et $360°\to P=250\,000$ stades, puis utiliser $1$ stade $=157,5$ mm.
7. Savoir déduire le rayon à partir de la circonférence avec $P=2\pi R$ et retrouver $R\approx 6\,300$ km.
8. Savoir comparer géocentrisme et héliocentrisme : Terre immobile vs Soleil immobile, et rôle des épicycles pour Ptolémée.
9. Savoir ordonner les phases de la Lune dans la séquence donnée et utiliser les valeurs $R=384\,403$ km et $2\pi R=2\,415\,275$ km pour la longueur d’orbite.