Lernzettel: Introduction à la représentation graphique des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définitions et courbe représentative
2. Images et antécédents graphiques
3. Variations, signe et extremums
4. Inéquations et tableaux de signe
5. Taux de variation et interprétation graphique
6. Lien avec le sens de variation
7. Équations graphiques

📖 1. Définitions et courbe représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : L’ensemble de définition D_f est le sous-ensemble de ℝ sur lequel la fonction f est calculable.
• Image : L’image d’un réel x est le nombre f(x) obtenu par la fonction à partir de x.
• Antécédent : Un antécédent d’une valeur y est un réel x tel que f(x)=y.
• Courbe représentative : La courbe représentative C_f est l’ensemble des points M(x;y) tels que x appartient à D_f et y=f(x).

📝 Points essentiels

• Une fonction f s’écrit f: D_f→ℝ et associe à chaque x∈D_f un unique réel y=f(x).
• Un point M(x_M;y_M) appartient à C_f si et seulement si y_M=f(x_M).
• La courbe de C_f est aussi appelée courbe d’équation y=f(x).
• Attention à ne pas confondre la fonction f et le réel f(x).

💡 Astuce mémo

Image et antécédent : f envoie x vers f(x) ; donc antécédent = « cause », image = « résultat ».

📖 2. Images et antécédents graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Image graphique : Sur un graphique, l’image d’une abscisse x est l’ordonnée du point de C_f situé à cette abscisse.
• Antécédent graphique : Sur un graphique, les antécédents d’une valeur y sont les abscisses des points de C_f ayant pour ordonnée y.
• Droite horizontale y=k : Une droite horizontale y=k sert à repérer sur C_f les points dont l’ordonnée vaut k.

📝 Points essentiels

• Pour trouver f(4) sur l’exemple, on lit l’ordonnée du point de C_f d’abscisse 4 et on obtient f(4)=3.
• Pour trouver f(-2) sur l’exemple, on lit l’ordonnée du point d’abscisse -2 et on obtient f(-2)=1,5.
• Les antécédents de -2 et de 3 se lisent en repérant les abscisses des points dont l’ordonnée vaut la valeur demandée, soit {-2} → {0,2,8} dans l’exemple.
• Une équation f(x)=k se lit graphiquement avec la droite horizontale y=k : les solutions sont les abscisses des points d’intersection avec C_f.

💡 Astuce mémo

Droite horizontale = ordonnée imposée ; tu lis alors les abscisses (donc les x) comme solutions d’antécédents.

📖 3. Variations, signe et extremums

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur I si, pour tous a≤b dans I, on a f(a)≤f(b).
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur I si, pour tous a≤b dans I, on a f(a)≥f(b).
• Croissante stricte : Une fonction est strictement croissante sur I si a<b entraîne f(a)<f(b).
• Extrémum : Un extremum sur un intervalle est le minimum ou le maximum atteint par la fonction sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Croissance non stricte : si a≤b alors f(a)≤f(b), donc l’ordre des inégalités est conservé.
• Croissance stricte : si a<b alors f(a)<f(b), donc la fonction « monte » sans égalité possible.
• Décroissance non stricte : si a≤b alors f(a)≥f(b), donc l’ordre des inégalités est inversé.
• Maximum sur I en a : f(x)≤f(a) pour tout x de I, et le maximum vaut f(a).
• Minimum sur I en b : f(x)≥f(b) pour tout x de I, et le minimum vaut f(b).
• Dans l’exemple, le minimum est -3 atteint pour x=1 et le maximum est 4 atteint pour x=5 sur l’ensemble de définition.

💡 Astuce mémo

Strict = pas d’égalité : strictement croissante signifie a<b ⇒ f(a)<f(b) et strictement décroissante signifie a<b ⇒ f(a)>f(b).

📖 4. Inéquations et tableaux de signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation f(x)<k : Résoudre f(x)<k consiste à trouver tous les x de D_f dont l’ordonnée f(x) est strictement inférieure à k.
• Droite y=k : La droite d’équation y=k sert de frontière pour décider si f(x) est <k, ≤k ou >k selon la comparaison des ordonnées.
• Tableau de signe : Un tableau de signe organise les signes de f(x) et permet de déduire l’ensemble des x vérifiant une inéquation.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre f(x)<k graphiquement, on trace y=k puis on garde les abscisses dont la courbe est strictement en dessous de la droite.
• Quand la courbe est strictement en dessous entre x1 et x2, les bornes x1 et x2 sont exclues des solutions.
• Pour résoudre f(x)≤0 avec un tableau de signe, on prend tous les intervalles où f(x) est négatif ou nul selon les valeurs placées dans le tableau.
• Dans l’exemple du tableau : pour x∈[-5,1] et x∈[4,5], f(x) vaut respectivement + puis - puis 0 aux points indiqués, ce qui sert à conclure sur l’inéquation f(x)≤0.

💡 Astuce mémo

Inéquation « < » : la droite y=k est une frontière, et les points d’égalité sont refusés.

📖 5. Taux de variation et interprétation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation τ(a,b) mesure l’évolution moyenne de f entre deux abscisses distinctes a et b.
• Sécante : La sécante est la droite passant par deux points de la courbe, et sa pente correspond au taux de variation.
• Pente du coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une droite est sa pente, c’est-à-dire le rapport (variation en ordonnée)/(variation en abscisse).

📝 Points essentiels

• Le taux de variation est défini par τ(a,b)=(f(b)−f(a))/(b−a) pour a≠b dans l’intervalle de définition.
• La vitesse moyenne entre t1 et t2 est v=(d(t2)−d(t1))/(t2−t1), c’est un taux de variation de la distance par rapport au temps.
• L’accélération moyenne entre t1 et t2 est (v(t2)−v(t1))/(t2−t1), c’est un taux de variation de la vitesse par rapport au temps.
• Graphiquement, τ(a,b) correspond au coefficient directeur (pente) de la sécante passant par A(a,f(a)) et B(b,f(b)).

💡 Astuce mémo

Taux de variation = pente de la sécante : tu fais (montée)/(avance) = (f(b)−f(a))/(b−a).

📖 6. Lien avec le sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance strictement : Une fonction est strictement croissante sur I quand elle augmente sans jamais rester constante entre deux points de I.
• Décroissance stricement : Une fonction est strictement décroissante sur I quand elle diminue sans jamais rester constante entre deux points de I.
• Fonction constante : Une fonction est constante sur I si elle garde la même valeur k pour tout x de I.

📝 Points essentiels

• Si τ(a,b)>0 pour deux réels distincts a et b de I, alors f est strictement croissante sur I.
• Si τ(a,b)<0 pour deux réels distincts a et b de I, alors f est strictement décroissante sur I.
• Si τ(a,b)=0 pour deux réels distincts a et b de I, alors f est constante sur I.
• Exemple f(x)=4x−2 : le sens de variation sur ℝ se déduit directement du signe du taux de variation (fonction linéaire de pente 4).
• Exemple g(x)=x²+2x sur [-1 ; +∞[ : le sens de variation sur l’intervalle se déduit de la propriété avec τ(a,b).

💡 Astuce mémo

Signe de τ : + ⇒ ça monte, − ⇒ ça descend, 0 ⇒ ça ne change pas.

📖 7. Équations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation f(x)=k : Résoudre f(x)=k consiste à trouver les x de D_f dont l’image par f vaut exactement k.
• Droite horizontale : La droite horizontale y=k permet de chercher sur C_f les points dont l’ordonnée est égale à k.
• Antécédents d’un nombre : Les antécédents de k par f sont tous les x tels que f(x)=k.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre f(x)=k graphiquement, on trace y=k puis on lit les abscisses des points d’intersection avec C_f.
• Les solutions de f(x)=k sont toutes les abscisses x1, x2, x3 des points de C_f ayant pour ordonnée k sur le graphique fourni.
• En termes de lecture : on fixe la valeur de l’ordonnée (k) et on cherche où la courbe atteint cette valeur pour obtenir les x.
• Les exercices demandent de déterminer graphiquement les solutions pour f(x)=0, f(x)=4 et f(x)=2 à partir de la courbe donnée.

💡 Astuce mémo

Équation f(x)=k : ordonnée imposée (k), puis tu lis les abscisses d’intersection.

📊 Tableaux de synthèse

Croissance vs décroissance

Cas	Hypothèse	Conclusion sur f
Croissante	a≤b	f(a)≤f(b)
Croissante stricte	a<b	f(a)<f(b)
Décroissante	a≤b	f(a)≥f(b)
Décroissante stricte	a<b	f(a)>f(b)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la fonction f (règle) avec le nombre f(x) (résultat calculé pour une valeur x donnée).
2. Chercher un antécédent en lisant une ordonnée au lieu de lire une abscisse sur la courbe.
3. Confondre croissante et décroissante en oubliant l’inégalité associée à a≤b.
4. Oublier que « strictement » exclut les égalités, par exemple confondre croissante et strictement croissante.
5. Se tromper sur les bornes en résolution graphique : pour f(x)<k, les points où f(x)=k ne font pas partie des solutions.
6. Déduire le sens de variation en utilisant le signe de f(b)−f(a) sans passer par le taux de variation τ(a,b).
7. Mélanger tableaux de signe et intervalles : les solutions d’inéquation correspondent aux zones où f(x) a le bon signe (et éventuellement le bon statut nul/strict).

✅ Checklist Examen

1. Écrire la définition d’une fonction f: D_f→ℝ et interpréter D_f comme ensemble de définition.
2. Déterminer l’image f(x) et interpréter graphiquement l’ordonnée associée à une abscisse x donnée.
3. Déterminer les antécédents d’une valeur y et interpréter graphiquement les abscisses des points de C_f d’ordonnée y.
4. Expliquer quand un point M(x;y) appartient à la courbe C_f en utilisant la condition y=f(x).
5. Classer une fonction sur un intervalle : croissante, strictement croissante, décroissante ou strictement décroissante à partir des inégalités.
6. Donner la définition d’un maximum et d’un minimum sur un intervalle à partir des comparaisons f(x)≤f(a) et f(x)≥f(b).
7. Lire sur un tableau de variations les extremums et leurs abscisses associées.
8. Calculer le taux de variation τ(a,b)=(f(b)−f(a))/(b−a) pour a≠b.
9. Interpréter graphiquement τ(a,b) comme la pente de la sécante reliant les points d’abscisses a et b.
10. Utiliser le signe de τ(a,b) pour conclure : strictement croissante si τ>0, strictement décroissante si τ<0, constante si τ=0.
11. Résoudre graphiquement une inéquation f(x)<k en utilisant y=k et en excluant les points d’égalité.
12. Résoudre f(x)≤0 à partir d’un tableau de signe en reliant les zones de signe à l’ensemble des solutions.
13. Résoudre graphiquement l’équation f(x)=k en traçant y=k et en lisant les abscisses des intersections avec C_f.