Quiz: Introduction à l'Algèbre Linéaire — 16 Fragen

1. Quelle opération élémentaire de Gauss permet de remplacer une ligne par elle-même plus un multiple d’une autre ligne sans changer l’ensemble des solutions d’un système ?

A. Ajouter un multiple d’une autre ligne

B. Échanger deux lignes

C. Supprimer une ligne nulle

D. Multiplier une ligne par zéro

Answer: (A)

Erklärung

Ajouter un multiple d’une ligne à une autre est une opération élémentaire qui conserve l’ensemble des solutions. En revanche, multiplier par zéro détruirait l’information.

2. Que signifie la présence d’une ligne du type 0 = 3 après réduction d’un système linéaire ?

A. Le système est déjà en forme échelonnée réduite

B. Le système a une infinité de solutions

C. Le système a un rang maximal

D. Le système est incompatible

Answer: (D)

Erklärung

Une équation impossible comme 0 = 3 montre qu’aucune solution n’existe. Le système est donc incompatible.

3. Quelle est la matrice associée à une application linéaire T dans la base canonique ?

A. La matrice formée par les images des vecteurs de base canonique

B. La matrice dont les lignes sont les coordonnées de T

C. La matrice obtenue en réduisant T en forme échelonnée

D. La matrice des solutions de T(x)=0

Answer: (A)

Erklärung

La matrice associée se construit en prenant comme colonnes les images des vecteurs de base canonique : A = [T(e1) ... T(em)]. Cela permet ensuite d’écrire T(x)=Ax.

4. Comment s’écrit la matrice de la composée de deux applications linéaires représentées par A et B ?

A. AB

B. A^T B

C. BA

D. A + B

Answer: (A)

Erklärung

La matrice de la composée correspond au produit matriciel dans l’ordre des applications : si l’on applique d’abord B puis A, on obtient AB. L’ordre est essentiel.

5. Que représente le noyau d’une matrice A ?

A. L’ensemble des vecteurs x tels que Ax = 0

B. L’ensemble des vecteurs orthogonaux à A

C. L’ensemble des colonnes pivots de A

D. L’ensemble des vecteurs y pouvant s’écrire y = Ax

Answer: (A)

Erklärung

Le noyau est l’ensemble des solutions du système homogène Ax=0. C’est donc l’ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul.

6. Quelle propriété caractérise toujours un sous-espace vectoriel de Rn ?

A. Il contient une base orthonormée

B. Il contient le vecteur nul et est stable par addition et par produit scalaire

C. Il est défini par une seule équation

D. Il est forcément de dimension n

Answer: (B)

Erklärung

Un sous-espace doit contenir 0 et rester stable par addition et multiplication par un scalaire. Ces conditions suffisent à le caractériser.

7. Comment vérifie-t-on qu’un vecteur y appartient à l’espace engendré par des vecteurs v1,...,vm ?

A. On calcule det(y)

B. On vérifie que y est orthogonal à tous les v_i

C. On résout Ax = y avec A formée des v_i en colonnes

D. On cherche la valeur propre associée à y

Answer: (C)

Erklärung

Appartenir au span signifie pouvoir écrire y comme combinaison linéaire des v_i, ce qui revient à résoudre Ax=y. Si le système est compatible, alors y appartient à l’espace engendré.

8. Dans une base, que peut-on dire des coordonnées d’un vecteur du sous-espace ?

A. Elles sont toujours toutes égales

B. Elles peuvent être choisies librement

C. Elles sont uniques

D. Elles dépendent de l’ordre des vecteurs de la base

Answer: (C)

Erklärung

Dans une base, l’écriture d’un vecteur comme combinaison linéaire est unique. Les coordonnées dans cette base sont donc uniques.

9. Quel est le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure ?

A. Le produit des éléments au-dessus de la diagonale

B. La somme des éléments de la diagonale

C. La différence entre le premier et le dernier terme diagonal

D. Le produit des éléments de la diagonale

Answer: (D)

Erklärung

Pour une matrice triangulaire supérieure, le déterminant est le produit des coefficients diagonaux. C’est un calcul direct très utile.

10. Quel effet a l’ajout d’un multiple d’une ligne à une autre sur le déterminant ?

A. Il l’annule

B. Il le multiplie par ce multiple

C. Il inverse son signe

D. Il ne le change pas

Answer: (D)

Erklärung

Ajouter un multiple d’une ligne à une autre ne modifie pas la valeur du déterminant. C’est l’une des propriétés clés utilisées avec Gauss-Jordan.

11. Quelle propriété du déterminant permet de conclure qu’une matrice carrée ayant deux lignes identiques a un déterminant nul ?

A. La multilinéarité du déterminant

B. Le fait qu’une ligne nulle impose un pivot

C. L’antisymétrie du déterminant

D. La normalisation du déterminant

Answer: (C)

Erklärung

L’antisymétrie implique que l’échange de deux lignes change le signe du déterminant ; si deux lignes sont identiques, l’échange ne change rien, donc le déterminant doit être nul. La multilinéarité ne suffit pas à elle seule pour cette conclusion.

12. Comment le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure se calcule-t-il ?

A. En additionnant les éléments de la diagonale

B. En multipliant les éléments de la diagonale

C. En comptant le nombre de coefficients non nuls

D. En prenant le produit des éléments au-dessus de la diagonale

Answer: (B)

Erklärung

Pour une matrice triangulaire supérieure, le déterminant est égal au produit des coefficients diagonaux. Les éléments au-dessus de la diagonale n’interviennent pas dans cette formule.

13. Comment reconnaît-on un vecteur propre associé à une valeur propre λ ?

A. C’est un vecteur non nul u tel que Au = λu

B. C’est un vecteur quelconque vérifiant Aλ = u

C. C’est un vecteur de norme 1 appartenant à ker(A)

D. C’est un vecteur nul annulé par A − λI

Answer: (A)

Erklärung

Un vecteur propre est, par définition, un vecteur non nul u tel que Au = λu. Le vecteur nul est exclu, et l’appartenance à ker(A) ne concerne que le cas λ = 0.

14. Quelle propriété est vraie pour une matrice symétrique réelle ?

A. Elle n’admet aucune valeur propre nulle

B. Toutes ses valeurs propres sont réelles

C. Toutes ses valeurs propres sont égales à 1

D. Ses vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont colinéaires

Answer: (B)

Erklärung

Pour une matrice symétrique réelle, toutes les valeurs propres sont réelles. De plus, les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, et non colinéaires.

15. Quand deux vecteurs u et v sont-ils orthogonaux ?

A. Lorsque leur produit scalaire est nul

B. Lorsque l’un est un multiple scalaire de l’autre

C. Lorsque leur somme est nulle

D. Lorsque leurs normes sont égales

Answer: (A)

Erklärung

Deux vecteurs sont orthogonaux exactement lorsque leur produit scalaire vaut 0. L’égalité des normes ou la colinéarité ne caractérisent pas l’orthogonalité.

16. Quelle formule donne la projection orthogonale d’un vecteur v sur un sous-espace W muni d’une base orthonormée {v1,…,vm} ?

A. P_W(v)=∏_{i=1}^m ⟨v,vi⟩vi

B. P_W(v)=∑_{i=1}^m ⟨vi,vi⟩v

C. P_W(v)=v−∑_{i=1}^m ⟨v,vi⟩vi

D. P_W(v)=∑_{i=1}^m ⟨v,vi⟩vi

Answer: (D)

Erklärung

Avec une base orthonormée de W, la projection orthogonale s’écrit comme la somme des composantes de v sur chaque vecteur de base. La différence v−P_W(v) est alors orthogonale à W.