Lernzettel: Introduction aux automatismes et suites mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Automatismes de calcul
2. Suites et affirmations
3. Fonction quadratique
4. Tableau croisé de présence
5. Cotisations et suite arithmétique

📖 1. Automatismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage d’augmentation : Variation multiplicative où un prix augmente de p% en étant multiplié par 1+p/100.
• Pourcentage de diminution : Variation multiplicative où un prix baisse de p% en étant multiplié par 1−p/100.
• Coefficient multiplicatif : Facteur qui transforme une grandeur après une hausse ou une baisse de pourcentage.

📝 Points essentiels

• 400 augmenté de 20 % donne 400×1,2 = 480 euros.
• 130 diminué de 10 % donne 130×0,9 = 117 euros.
• Deux augmentations successives de 20 % multiplient par 1,2×1,2 = 1,44.
• Dans le vote : 1/4 pour A, 20% pour B, 1/3 pour C, et le reste pour D, donc D a la plus grande part.
• Une heure et demie correspond à 75 minutes soit 1,25 heure.
• $10^{30}+10^{-30}$ vaut environ $10^{30}$ car le terme $10^{-30}$ est négligeable devant $10^{30}$.

💡 Astuce mémo

Hausse de p% → ×(1+p/100) ; baisse de p% → ×(1−p/100).

📖 2. Suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite où chaque terme s’obtient en ajoutant la même raison à partir du terme précédent.
• Suite géométrique : Suite où chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une raison constante.
• Condition d’égalité de probabilités : Égalité qui compare deux probabilités calculées à partir d’effectifs ou de rapports de cas.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison r, on a u60 = u50 + 10r.
• Pour une suite géométrique de raison q, u102 = u100×q^2 implique q^2 = u102/u100.
• Dire qu’il existe x tel que x+x=x^2 revient à résoudre 2x=x^2 donc x=0 ou x=2.
• Avec deux pièces : “mêmes côtés” correspond à (PILE,PILE) ou (FACE,FACE), donc la probabilité vaut 2/4 = 1/2.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : +r ; Géométrique : ×q ; (mêmes côtés) : 2 cas sur 4.

📖 3. Fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression factorisée : Forme d’un polynôme écrite comme un produit de facteurs, utile pour lire des zéros et des signes.
• Sommet d’une parabole : Point de la parabole où une fonction quadratique atteint son maximum ou son minimum selon le signe du coefficient dominant.
• Parabole ouverte vers le bas : Quand le coefficient de $x^2$ est négatif, la courbe est tournée vers le bas.

📝 Points essentiels

• Pour f(x) = −x^2+6x−5, on a f(0)=−5 et f(3)=4.
• On factorise −x^2+6x−5 en (x−1)(5−x).
• Les antécédents de 0 sont 1 et 5 car f(x)=0 équivaut à (x−1)(5−x)=0.
• On complète le carré : 4 − (x−3)^2 = −x^2+6x−5, donc le maximum vaut 4.
• Chercher f(x)>4 revient à demander l’existence de x tel que −(x−3)^2>0, ce qui est impossible.

💡 Astuce mémo

f(x)=4−(x−3)^2 : 4 est le plafond, (x−3)^2 est toujours ≥0.

📖 4. Probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé : Matrice reliant deux variables par des effectifs répartis selon deux catégories.
• Effectif conjoint : Nombre correspondant à l’intersection de deux choix, par exemple “présent le lundi” et “présent le jeudi”.
• Probabilité conditionnelle : Probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est réalisé, calculée avec un effectif réduit.

📝 Points essentiels

• Dans le tableau, x correspond à l’effectif des adhérents présents à la fois le lundi et le jeudi, donc x=45.
• La probabilité de n’être venu ni le lundi ni le jeudi est 5/100 = 0,05.
• La probabilité d’être venu un seul jour vaut (75+20)/100 = 95/100.
• Sachant que l’adhérent est venu le lundi, la proba qu’il soit aussi venu le jeudi vaut 45/65 = 9/13.

💡 Astuce mémo

Présent lundi et jeudi : ligne “Présent lundi” ∩ colonne “Présent jeudi” → x=45.

📖 5. Suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique d’effectifs : Suite où le nombre d’adhérents augmente de la même quantité chaque année.
• Somme de termes consécutifs : Somme qui additionne les valeurs successives d’une suite pendant une période donnée.
• Différence r : Incrément constant qui donne le passage d’un terme au suivant dans une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• En 2026, le total des cotisations vaut 100 adhérents × 100 euros = 10 000 euros.
• Si le nombre d’adhérents augmente de 5 par an, alors la suite des effectifs a une raison r=5 à partir de 100 en 2026.
• Le montant annuel total entre 2026 et 2041 est une somme de termes arithmétiques, chaque terme étant “(a+k r)×100 euros”.

💡 Astuce mémo

Cotisation = 100×(effectif) ; effectif : 100, 105, 110, … donc raison 5.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. En cas de hausse de 20 %, multiplier par 0,8 au lieu de 1,2 mène à un résultat faux.
2. Confondre l’intervalle de temps inclus dans “entre 2026 et 2041 inclus” fausse le nombre de termes à sommer.
3. Pour une suite géométrique, confondre u102 = u100×q^2 avec u102 = u100+q^2 produit des résultats incohérents.
4. Dans la fonction quadratique, oublier que $-(x-3)^2≤0$ fait croire que f(x) peut dépasser 4.
5. Avec deux pièces, prendre “même côté” comme 1/4 au lieu de compter correctement les deux cas favorables (2/4).
6. Lire x dans le tableau croisé comme un effectif de la ligne au lieu de l’intersection “lundi et jeudi” donne une valeur erronée.
7. Pour la somme arithmétique, utiliser la mauvaise borne k (terminer à 2040 au lieu de 2041 inclus) change le total final.

✅ Checklist Examen

1. Calculer un nouveau prix après une hausse de pourcentage et choisir la bonne réponse.
2. Calculer un nouveau prix après une baisse de pourcentage et choisir la bonne réponse.
3. Déterminer le facteur multiplicatif après deux augmentations successives de même pourcentage.
4. Interpréter correctement un partage : fractions et pourcentages, puis identifier le candidat ayant le moins de voix.
5. Manipuler une suite arithmétique : passer de u50 à u60 avec la bonne formule.
6. Manipuler une suite géométrique : exploiter la relation entre u100, u102 et la raison q.
7. Résoudre correctement une équation de la forme x+x=x^2 pour décider vrai/faux.
8. Calculer la probabilité de gagner avec deux pièces équilibrées en comptant les cas favorables.
9. Calculer des images par une fonction quadratique f(x) et relier f(x) à une factorisation donnée.
10. Trouver les antécédents de 0 via la factorisation et donner les bonnes valeurs.
11. Déterminer si f(x) peut être strictement supérieur à 4 en utilisant la forme “4 − (x−3)^2”.
12. Décrire la signification de x dans un tableau croisé et lire/justifier sa valeur.
13. Calculer une probabilité par effectifs à partir du tableau croisé.
14. Calculer une probabilité conditionnelle à partir du sous-ensemble correspondant (par exemple “venu le lundi”).