Lernzettel: Introduction aux concepts fondamentaux en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et ordre dans IR
2. Équations, inéquations et systèmes
3. Trigonométrie
4. Limites de fonctions
5. Continuité des fonctions
6. Dérivation et réciproque
7. Branches infinies et représentation graphique
8. Suites et fonctions primitives
9. Logarithmes, exponentielles et complexes
10. Équations différentielles et intégrales
11. Géométrie de l'espace
12. Dénombrement et probabilités

📖 1. Ensembles et ordre dans IR

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion des ensembles : Les inclusions décrivent l’emboîtement des ensembles de nombres ℕ⊂ℤ⊂𝔻⊂ℚ⊂ℝ, du plus simple au plus général.
• Encadrement : Un encadrement est une inégalité qui place x entre deux bornes a et b avec une amplitude b−a.
• Intervalles : Un intervalle est un ensemble de réels défini par des bornes, pouvant être incluses ou exclues selon les notations.
• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x mesure sa distance à 0 sur la droite réelle, donc elle est toujours ≥ 0.

📝 Points essentiels

• L’ordre dans IR est compatible avec l’addition : si a≤b alors a+c≤b+c pour tout c réel.
• L’ordre change avec le signe multiplicatif : si c≥0 alors ac≤bc et si c<0 alors ac≥bc.
• Un encadrement est une forme de la famille a≤x≤b, a<x≤b, a≤x<b ou a<x<b, avec amplitude b−a.
• La réunion I∪J regroupe les réels qui appartiennent à I ou à J, tandis que l’intersection I∩J contient ceux qui appartiennent aux deux.
• Pour I=[a,b], la longueur vaut b−a, le centre vaut (a+b)/2 et le rayon vaut (b−a)/2.
• On a |x|=0 équivaut à x=0 et |x|≥0 pour tout réel x.

💡 Astuce mémo

Encadrement = bornes a et b, amplitude b−a ; Valeur absolue = distance à 0 : |x|≥0.

📖 2. Équations, inéquations et systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant mesure le nombre de solutions réelles d’une équation du second degré et se calcule à partir des coefficients.
• Équation du second degré : Une équation du second degré regroupe les termes en $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ et cherche ses solutions réelles.
• Système de Cramer : Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues peut se résoudre par la méthode de Cramer à l’aide de déterminants.

📝 Points essentiels

• Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq0$, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ pour décider le nombre de solutions réelles.
• Si $\Delta>0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions distinctes $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ et on obtient la factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $\Delta=0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution réelle double $x=\frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.
• Pour deux nombres de somme $S$ et de produit $P$, les valeurs sont les solutions de $x^2-Sx+P=0$.
• Pour le système $\begin{cases}a'x+b'y=c'\ a x+b y=c\ \end{cases}$ (notation déterminants), si $D\neq0$ le système admet une unique solution, si $D=0$ et $D\'=0$ il admet une infinité de solutions, et si $D=0$ et D\'\neq0 il n’admet aucune solution.

📖 3. Trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Formules d’addition : Ensemble d’identités reliant cos(a ± b) et sin(a ± b) aux valeurs de cos et sin de a et b.
• Transformation de produit en somme : Identité qui réécrit le produit de fonctions trigonométriques comme une somme de trigonométriques d’angles combinés.
• Transformation de somme en produit : Identité qui réécrit la somme ou la différence de cos et de sin comme un produit de trigonométriques d’angles combinés.
• Formules du double angle : Identités particulières obtenues en posant b = a dans les formules d’addition pour exprimer cos(2x), sin(2x) et tan(2x).

📝 Points essentiels

• $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.
• $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ et $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$.
• $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ et $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$.
• $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$.
• $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ et $\tan(2x)=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}$.
• $\cos a\cos b=\dfrac12\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big)$ et $\sin a\sin b=-\dfrac12\big(\cos(a+b)-\cos(a-b)\big)$.

💡 Astuce mémo

Addition de cos : cos−sin; addition de sin : sin×cos + cos×sin.

📖 4. Limites de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite à l’infini : Une limite à l’infini décrit le comportement de f(x) quand x tend vers +∞ ou vers −∞.
• Limites usuelles (FI) : Les limites usuelles regroupent les cas standard pour addition, produit, inverse et quotient quand au moins une limite vaut +∞ ou −∞.
• Dominance du terme de plus haut degré : Pour une fonction polynomiale ou rationnelle, la limite à l’infini se déduit de la comparaison des termes de plus haut degré.
• Limites des fonctions trigonométriques : Les limites trigonométriques sont des valeurs remarquables obtenues avec des expressions du type sin(ax)/x, cos(ax) et tan(ax)/x près de 0.

📝 Points essentiels

• Si $\lim_{x\to a} f(x)=L$ et $\lim_{x\to a} g(x)=M$ avec $L,M\in\mathbb{R}$ ou des infinis, alors la limite de $f+g$ et les limites de $f\,g$, $1/f$ se déterminent avec les tableaux de cas usuels, en distinguant notamment $0\cdot(\pm\infty)$ et $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ qui relèvent d’un cas indéterminé.
• La limite en $+\infty$ d’un polynôme (resp. en $−\infty$) est la limite du monôme de plus haut degré, et la limite en $+\infty$ (resp. $−\infty$) d’une fraction rationnelle est la limite du quotient des monômes de plus haut degré.
• Pour tout réel $a$, on a $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{x}=a$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos(ax)-1}{x^2}=\frac{a^2}{2}$, ainsi que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan(ax)}{x}=a$.
• Si sur $I= [a,+\infty[$ (ou énoncé analogue en $]−\infty,a]$) on a $f(x)\le g(x)$ et $\lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty$, alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ (et des conclusions analogues existent avec $-\infty$ ou une borne par une limite finie).

💡 Astuce mémo

Polynôme/rationnelle : à l’infini, le « plus haut degré » écrase tout.

📖 5. Continuité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur [a,b] : Une fonction est continue sur [a,b] si elle est continue sur ]a,b[ et continue à droite en a et à gauche en b.
• Continuité à droite : Une fonction est continue à droite en a si sa limite en x→a+ vaut f(a).
• Continuité à gauche : Une fonction est continue à gauche en b si sa limite en x→b− vaut f(b).
• Fonctions usuelles continues : Des fonctions classiques ont un domaine où elles sont continues, notamment polynômes, rationnelles par intervalle et fonctions trigonométriques sur leurs intervalles de définition.

📝 Points essentiels

• Si f est continue sur ]a,b[ et continue à droite en a et à gauche en b, alors f est continue sur [a,b].
• Tout polynôme est continu sur ℝ et toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition.
• La fonction x↦√x est continue sur [0,+∞[ et x↦sin x, x↦cos x sont continues sur ℝ.
• La fonction x↦tan x est continue sur tout intervalle de son domaine de définition (i.e., sans points où tan n’est pas définie).
• Si f et g sont continues sur I, alors f±g, f·g et αf sont continues sur I (α∈ℝ) et si g ne s’annule pas sur I alors f/g est continu sur I.
• Si f est continue sur I et g est continue sur J avec f(I)⊂J, alors la composée g∘f est continue sur I.

📖 6. Dérivation et réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité à droite : La dérivabilité à droite en a signifie que le taux d’accroissement de f admet une limite finie quand x tend vers a par valeurs supérieures.
• Dérivabilité à gauche : La dérivabilité à gauche en a signifie que le taux d’accroissement de f admet une limite finie quand x tend vers a par valeurs inférieures.
• Fonction affine tangente : La fonction affine tangente en a associe à x une expression linéaire construite avec f(a) et le nombre dérivé de f en a.
• Fonction réciproque : La fonction réciproque de f échange les rôles des abscisses et des ordonnées et se note f⁻¹.

📝 Points essentiels

• Si lim_{x→a} (f(x)-f(a))/(x-a)=ℓ existe et est finie, alors ℓ est le nombre dérivé f'(a de f en a.
• La dérivée à droite en a est définie par lim_{x→a+} (f(x)-f(a))/(x-a)=ℓ et se note f'{d}(a, tandis que la dérivée à gauche se note f'{g}(a avec lim_{x→a-} (f(x)-f(a))/(x-a)=ℓ'.
• Si f est dérivable en a, alors l’équation de la tangente à (Cf) en a est y=f'(a)(x-a)+f(a).
• f est croissante sur I si f'(x)≥0 pour tout x∈I, décroissante sur I si f'(x)≤0 pour tout x∈I, et constante sur I si f'(x)=0 pour tout x∈I.
• Si f est dérivable en a et f'(a)≠0, alors f⁻¹ est dérivable en b=f(a) et (f⁻¹)'(b)=1/f'(a).
• Si f est dérivable sur I et que f' ne s’annule pas sur I, alors f⁻¹ est dérivable sur J=f(I) et, pour tout x∈J, (f⁻¹)'(x)=1/f'(f⁻¹(x)).

💡 Astuce mémo

Droite et gauche : x→a+ donne f'₍d₎(a) ; x→a- donne f'₍g₎(a) ; dérivable ⇔ f'₍d₎(a)=f'₍g₎(a) ; réciproque : on inverse la pente, on prend 1/f'(a).

📖 7. Branches infinies et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : Une asymptote verticale est une droite x=a telle que la fonction diverge vers ±∞ quand x tend vers a.
• Asymptote horizontale : Une asymptote horizontale est une droite y=b telle que la fonction tend vers b quand x tend vers +∞ ou −∞.
• Asymptote oblique : Une asymptote oblique est une droite y=ax+b qui approche la courbe quand x tend vers l’infini, avec un écart qui tend vers 0.
• Branche parabolique : Une branche parabolique décrit le comportement de la courbe quand elle s’éloigne à l’infini en gardant une direction comparable à un axe ou à une droite donnée.

📝 Points essentiels

• Si $\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$ alors la droite $x=a$ est asymptote verticale à la courbe $C_f$.
• Si $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=b$ alors la droite $y=b$ est asymptote horizontale à $C_f$.
• Si $\lim_{x\to\pm\infty} (f(x)-ax)=0$ alors la courbe admet une branche dont l’asymptote oblique est $y=ax$.
• Si $\lim_{x\to\infty} \big(f(x)-(ax+b)\big)=0$ alors la droite $y=ax+b$ est asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $+\infty$.
• Si $f(x)\to\infty$ pour $x\to\infty$, la représentation doit montrer une branche qui s’éloigne sans rester bornée sur la direction verticale correspondante.
• Pour étudier la position de $C_f$ par rapport à la droite $\Delta: y=ax+b$ sur un intervalle $I$, on étudie le signe de $f(x)-(ax+b)$ sur $I$.

💡 Astuce mémo

Verticale: x=a ; Horizontale: y=b ; Oblique: y=ax+b ; et on compare par le signe de f(x)-(ax+b).

📖 8. Suites et fonctions primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une application qui associe à chaque entier $n$ un réel $U_n$.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite vérifiant $U_{n+1}=U_n+r$, où $r$ est la raison.
• Fonction primitive : Une fonction primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x\in I$, $F'(x)=f(x)$.

📝 Points essentiels

• Une suite $(U_n)$ est convergente s’il existe $l\in\mathbb{R}$ tel que $\lim_{n\to\infty}U_n=l$; sinon elle est divergente.
• Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente.
• Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ s’écrivent sous la forme $x\mapsto F(x)+k$ avec $k\in\mathbb{R}$.
• Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors $f$ admet une fonction primitive sur $I$.
• Pour $U_{n+1}=U_n+r$ (arithmétique), on a $U_n=U_0+nr$ et $S_n=U_0+\cdots+U_n=(n+1)\dfrac{U_0+U_n}{2}$.
• Pour $F$ primitive de $f$ sur $I$, les solutions $F$ vérifiant $F(x_0)=y_0$ sont uniques sur $I$.

💡 Astuce mémo

Primitive = dérivée qui redonne f : F' = f; suites : croissante+majorée ⇒ convergente; arithmétique = écarts constants r.

📖 9. Logarithmes, exponentielles et complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme de base a : Le logarithme de base a exprime un réel positif x en utilisant le rapport ln(x)/ln(a), avec a>0 et a≠1.
• Logarithme népérien : Le logarithme népérien ln(x) est la fonction définie sur ]0,+∞[, strictement croissante, qui s’annule en 1 et vérifie ln'(x)=1/x.
• Exponentielle népérienne : L’exponentielle népérienne exp(x)=e^x est la réciproque de ln sur ]0,+∞[, définie pour tout réel x.
• Conjugué d’un nombre complexe : Le conjugué d’un nombre complexe z=x+iy est le complexe x−iy, obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire.
• Module d’un nombre complexe : Le module d’un complexe z=x+iy est la distance à l’origine, donné par |z|=√(x^2+y^2)=√(z\bar z).

📝 Points essentiels

• Si u ne s’annule pas et est dérivable sur I, alors (ln|u(x)|)'=u'(x)/u(x) pour tout x de I.
• Pour a>0 et a≠1, log_a(x)=ln(x)/ln(a), et donc log_a(a)=1, log_a(e)=1/ln(a).
• e^x est strictement croissante sur R et vérifie ln(e^x)=x pour tout x de R et e^x>0 pour tout x de R.
• Pour tout x réel, (e^x)'=e^x, et plus généralement si u est dérivable alors (e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}.
• Tout complexe s’écrit de façon unique z=x+iy avec i^2=−1, et son module vaut |z|=√(z\bar z).
• Si z=r(cosθ+i sinθ)=re^{iθ}, alors (e^{iθ})=cosθ+i sinθ (formules d’Euler).

💡 Astuce mémo

ln(x) est l’anti-dérivée de 1/x ; e^x est l’anti-dérivée de lui-même (d/dx e^x=e^x).

📖 10. Équations différentielles et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Équation différentielle : relation reliant une fonction inconnue à ses dérivées jusqu’à un certain ordre.
• Équation caractéristique : Équation caractéristique : équation polynomiale obtenue avec $r$ qui donne les solutions exponentielles de certaines équations linéaires à coefficients constants.
• Primitive : Primitive : fonction $F$ telle que $F'(x)=f(x)$ sur un intervalle où l’on veut calculer une intégrale.
• Intégrale définie : Intégrale définie : nombre 7b\int_a^b f(x)\,dx7d calculé à partir d’une primitive via $F(b)-F(a)$.

📝 Points essentiels

• Si $y'+ay=b$ avec $a\neq0$, alors les solutions s’écrivent sous la forme $y(x)=\frac{b}{a}+k e^{-ax}$ pour une constante réelle $k$ validant l’équation sur $\mathbb R$.
• Si $y''+ay'+by=0$ et si l’équation caractéristique est $r^2+ar+b=0$, alors on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ puis on distingue les trois cas $\Delta>0$, $\Delta=0$ ou $\Delta<0$.
• Si $\Delta>0$, avec deux racines réelles $r_1$ et $r_2$, alors les solutions sont $y(x)=\alpha e^{r_1 x}+\beta e^{r_2 x}$ avec $\alpha,\beta\in\mathbb R$.
• Si $\Delta=0$ et si la racine réelle est $r$, alors les solutions sont $y(x)=(\alpha+\beta x)e^{rx}$ avec $\alpha,\beta\in\mathbb R$.
• Si $\Delta<0$ et si les racines sont complexes conjuguées $r_1=p+iq$ et $r_2=p-iq$, alors les solutions sont de la forme $y(x)=e^{px}(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx))$ avec $\alpha,\beta\in\mathbb R$.
• Si $f$ est continue et $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ et on a la linéarité et la relation de Chasles $\int_a^b( f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g$ et $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$.

💡 Astuce mémo

Signe du discriminant $\Delta$ : $\Delta>0$ exponentielles réelles, $\Delta=0$ exponentielle × $x$, $\Delta<0$ exponentielle × sin/cos.

📖 11. Géométrie de l'espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé direct : Un repère orthonormé direct est un repère de l’espace noté $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ où les axes sont orthogonaux, unitaires, et orientés positivement.
• Équation cartésienne du plan : L’équation cartésienne d’un plan s’écrit $ax+by+cz+d=0$, où $(a,b,c)$ est un vecteur normal au plan.
• Équation cartésienne de la sphère : Une sphère de centre $\Omega(a,b,c)$ et de rayon $R$ est l’ensemble des points $M$ tels que $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$.

📝 Points essentiels

• Dans le repère $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, le produit scalaire vaut $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$ et la norme vaut $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ pour $\vec u(x,y,z)$ et $\vec v(x',y',z')$.
• Une droite $D(A,\vec u)$ admet la représentation paramétrique $\{x=x_A+at,\ y=y_A+bt,\ z=z_A+ct\}$ et la distance d’un point $M$ à $D$ est $d(M,(D))=\frac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}$.
• Si $(P)$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$, alors la distance d’un point $\Omega$ au plan est $d(\Omega,(P))=\frac{|a x_\Omega+b y_\Omega+c z_\Omega+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
• Une sphère $S(\Omega,R)$ coupée par un plan $(P)$ donne un cercle de centre $H$ (projection de $\Omega$ sur $(P)$) et de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}$ avec $d=\Omega H$.
• Le plan tangent à la sphère $S(\Omega,R)$ en $H$ est celui pour lequel $H$ est la projection de $\Omega$ sur le plan, donc $d=\Omega H=R$.
• L’aire du triangle $ABC$ vaut $S_{ABC}=\frac12\,\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$, et celle du parallélogramme $ABCD$ vaut $S_{ABCD}=\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$.

💡 Astuce mémo

Wedge (produit vectoriel) = aire : $\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$ donne l’aire du parallélogramme, puis on divise par 2 pour le triangle.

📖 12. Dénombrement et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Le cardinal d’un ensemble est le nombre d’éléments qu’il contient.
• Arrangements sans répétition : Un arrangement sans répétition est un choix ordonné de p éléments distincts parmi n, sans réutiliser de même élément.
• Complémentaire d’un événement : Le complémentaire d’un événement A est l’événement constitué de tous les résultats où A ne se réalise pas.
• Indépendance de deux événements : Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités.
• Variable aléatoire binomiale : Une variable aléatoire binomiale compte le nombre de réalisations d’un événement A lors de n répétitions identiques et indépendantes.

📝 Points essentiels

• Dans le dénombrement, le produit donne le nombre total de cas : si les p choix se réalisent respectivement en n1, n2, …, np façons, alors le total vaut n1×n2×…×np.
• Le nombre des arrangements sans répétition de p éléments parmi n éléments est $A_n^p=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$ avec $p\le n$.
• Le nombre des permutations de n éléments est $A_n^n=n!$.
• Le nombre des combinaisons de p éléments parmi n éléments est $C_n^p=A_n^p\!/p!=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.
• Si tous les résultats de Ω sont équiprobables, alors $P(A)=\dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}$.
• Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.

💡 Astuce mémo

Sans répétition : on compte en “descendant” $n(n-1)\cdots(n-p+1)$; et $C_n^p$ = $A_n^p/p!$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’amplitude d’un encadrement (b−a) avec la longueur d’un intervalle, et croire que inclusion et appartenance se valent.
2. Inverser le sens des inégalités lors d’une multiplication par un nombre négatif (c<0) : on obtient alors ac≥bc au lieu de ac≤bc.
3. Se tromper sur le cas du discriminant : Δ>0 donne deux solutions réelles distinctes, Δ=0 une solution double, Δ<0 aucune solution réelle.
4. Utiliser une formule trigonométrique avec le mauvais signe (cos(a−b), sin(a−b)) ou appliquer une formule d’addition alors que l’angle ne correspond pas à la structure (a±b).
5. Pour les limites, traiter 0·(±∞) ou (±∞)/(±∞) comme des cas “calculables” au lieu de reconnaître l’indétermination indiquée.
6. Mélanger continuité et dérivabilité : une fonction peut être continue sans être dérivable (point anguleux) et l’existence des demi-dérivées ne garantit pas la dérivabilité.
7. En probabilités/dénombrement, oublier l’importance de l’ordre : combinaisons C_n^p (ordre non important) vs arrangements/permutations (ordre important).

✅ Checklist Examen

1. Identifier l’ensemble de définition d’une fonction à partir des contraintes (ex. ℕ, ln sur ]0,+∞[, racine carrée) avant tout calcul.
2. Réécrire un encadrement ou un intervalle avec les bonnes notations d’inclusion/exclusion, puis utiliser l’amplitude b−a et les propriétés d’encadrement.
3. Résoudre une équation du second degré via le discriminant Δ=b^2−4ac : déterminer le nombre de solutions et les valeurs dans chaque cas.
4. Résoudre un système linéaire par la méthode de Cramer : calculer D et D′, puis conclure unique/infinité/aucune solution selon les valeurs.
5. Transformer une expression trigonométrique avec les bonnes formules (addition, produit↔somme, double angle) en vérifiant les signes.
6. Déterminer une limite en un point ou à l’infini : utiliser unicité, continuité (si fournie), tableaux usuels et repérer les indéterminations.
7. Étudier la continuité sur [a,b] : vérifier continuité sur ]a,b[, puis à droite en a et à gauche en b ; conclure par le critère du cours.
8. Calculer une dérivée (et demi-dérivées si besoin), écrire l’équation de la tangente y=f′(a)(x−a)+f(a), puis utiliser le signe de f′ pour variation.
9. Détecter et justifier des asymptotes (verticale/horizontale/oblique) via les limites de f ou de f−(ax+b) et conclure par comparaison/signe.
10. Pour suites, classifier (arithmétique : u_{n+1}=u_n+r ; convergence : croissante+majorée ou décroissante+minorée) et utiliser les formules de somme pertinentes.
11. Calculer une primitive et une intégrale définie : appliquer F′=f et ∫_a^b f=F(b)−F(a), puis Chasles et linéarité.
12. En probabilités/dénombrement, choisir le bon modèle (arrangements, permutations, combinaisons, équiprobabilité, indépendance, binomiale) et appliquer les formules de comptage/loi.