Lernzettel: Introduction aux expériences probabilistes

📋 Plan du Cours

1. Épreuves indépendantes
2. Expériences à deux épreuves
3. Épreuve de Bernoulli
4. Loi de Bernoulli
5. Expériences identiques et indépendantes
6. Répétition d'épreuves de Bernoulli

📖 1. Épreuves indépendantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance de deux expériences : Deux expériences sont indépendantes si le résultat de l’une ne modifie pas la probabilité des issues de l’autre.
• Tirage avec remise : Un tirage avec remise replace la boule tirée, ce qui permet de garder les probabilités identiques d’un tirage à l’autre.

📝 Points essentiels

• L’indépendance signifie que le résultat du premier tirage n’influence pas le second.
• Le tirage sans remise dans la même urne rend les deux tirages non indépendants car le contenu de l’urne change.
• Avec remise, les tirages deviennent indépendants car les probabilités restent constantes à chaque étape.

💡 Astuce mémo

Avec remise : “ça se remet” donc les chances ne changent pas.

📖 2. Expériences à deux épreuves

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilités : Un arbre de probabilités représente successivement les issues de chaque épreuve et leurs probabilités associées.
• Événements d’intersection : Une intersection combine deux événements qui se produisent ensemble sur les deux épreuves successives.

📝 Points essentiels

• Pour deux épreuves indépendantes, il existe quatre issues possibles, correspondant aux combinaisons des issues de chaque épreuve.
• La probabilité d’un chemin s’obtient en multipliant les probabilités des branches successives de l’arbre.
• On note par exemple A et A̅ les issues de la première épreuve, puis B et B̅ celles de la seconde.

💡 Astuce mémo

Arbre = chemin ; probabilité = produit des branches.

📖 3. Épreuve de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli de paramètre p n’a que deux issues, appelées succès et échec.
• Variable aléatoire X : La variable X code l’échec par 0 et le succès par 1.

📝 Points essentiels

• On associe p au succès, avec p = p(X = 0) et 1 − p = p(X = 1 dans le codage du cours).
• Pour représenter une épreuve de Bernoulli, on vérifie que les deux issues couvrent toute la situation.
• La somme des probabilités des deux issues vaut 1.
• Exemple loterie : réussir un premier service dans 90% des cas donne p = 0,9 et donc 1 − p = 0,1.

💡 Astuce mémo

Bernoulli = deux issues seulement : X prend 0 ou 1.

📖 4. Loi de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : La loi de Bernoulli de paramètre p décrit la probabilité de la variable X ne prenant que les valeurs 0 et 1.
• Espérance d’une Bernoulli : L’espérance mesure la valeur moyenne théorique de X, donnée ici par une formule simple.

📝 Points essentiels

• Le tableau de la loi associe à X = 0 la probabilité 1 − p et à X = 1 la probabilité p.
• L’espérance vérifie E(X) = p.
• Exemple pile ou face (succès = pile) : p(X = 0) = 1/2 et p(X = 1) = 1/2.
• Exemple dé (succès = obtenir un 1) : la probabilité de X = 1 vaut 1/6 et celle de X = 0 vaut 5/6.
• Pour une roue : secteur vert 120° sur 360° donne p = 1/3 et la loi correspondante donne p(X = 1)=1/3 et p(X=0)=2/3.

💡 Astuce mémo

Espérance = paramètre : on lit p directement dans E(X)=p.

📖 5. Expériences identiques et indépendantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Expériences identiques : Des expériences identiques ont les mêmes issues et conservent les mêmes probabilités pour chaque issue.
• Répétition indépendante : Répéter indépendamment signifie que le résultat d’une répétition n’affecte pas les suivantes.

📝 Points essentiels

• Plusieurs expériences sont identiques et indépendantes si elles ont les mêmes issues et chaque issue a la même probabilité.
• Lancer 5 fois un dé puis considérer “succès = obtenir un six” et “échec = ne pas obtenir un six” donne 5 répétitions indépendantes.
• Lancer 20 fois une pièce équilibrée avec succès “Pile” et échec “Face” donne aussi des répétitions identiques et indépendantes.

💡 Astuce mémo

Identique : mêmes probabilités ; indépendant : pas d’effet domino.

📖 6. Répétition d'épreuves de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Chaînes dans l’arbre : Une suite d’issues sur l’arbre (succès/échec à chaque répétition) correspond à un chemin menant à un événement.
• Nombre de chemins : Le même événement (par exemple “exactement deux succès”) peut correspondre à plusieurs chemins distincts.

📝 Points essentiels

• Pour une répétition identique et indépendante de Bernoulli, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités le long du chemin.
• Pour un événement composé, on somme les probabilités de tous les chemins qui réalisent cet événement.
• Exemple lot de services : avec succès de probabilité 0,9, la probabilité d’un chemin S S S̅ vaut 0,9×0,9×0,1=0,081.
• Avec trois chemins menant à “deux succès sur trois”, on obtient 3×0,081=0,243.
• Exemple deux lancers de pièce équilibrée : la distribution de X (nombre de Pile) est 0,25 ; 0,5 ; 0,25 pour X=0,1,2.

💡 Astuce mémo

Exactement k succès = plusieurs chemins ; probabilité = somme des produits.

📊 Tableaux de synthèse

Indépendance : avec vs sans remise

Situation	Probabilité	Indépendance
Tirage sans remise	Les probabilités changent après le premier tirage	Non
Tirage avec remise	Les probabilités restent les mêmes	Oui

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre tirage sans remise et indépendance : sans remise, le second tirage est influencé par le premier.
2. Croire qu’il suffit que les expériences soient “dans le même contexte” pour être indépendantes ; la constance des probabilités est essentielle.
3. Mélanger la lecture de l’arbre : la probabilité d’un événement se calcule par produit le long du chemin, pas par addition des branches.
4. Oublier de multiplier par le nombre de chemins quand un même événement peut être réalisé de plusieurs façons.
5. Inverser succès et échec lors du codage de X : la valeur de X dépend directement de la définition choisie pour succès.
6. Se tromper dans la somme des probabilités des deux issues d’une Bernoulli : elle doit valoir 1.

✅ Checklist Examen

1. Donner la définition d’une indépendance entre deux expériences et expliquer pourquoi un tirage sans remise n’est pas indépendant.
2. Identifier deux épreuves successives modélisées sur un arbre et reconnaître les quatre issues possibles.
3. Calculer la probabilité d’un chemin sur un arbre en utilisant le produit des probabilités.
4. Définir une épreuve de Bernoulli et reconnaître qu’il n’y a que deux issues.
5. Associer correctement la variable X : échec codé par 0 et succès codé par 1 selon le cours.
6. Écrire le tableau de la loi de Bernoulli de paramètre p pour X=0 et X=1.
7. Utiliser la formule de l’espérance E(X)=p pour une loi de Bernoulli.
8. Déterminer si des répétitions sont identiques et indépendantes en vérifiant mêmes issues et mêmes probabilités.
9. Calculer une probabilité sur une répétition de Bernoulli via produits le long des chemins.
10. Compter le nombre de chemins menant à “exactement k succès” et multiplier la probabilité d’un chemin par ce nombre.
11. Sommer les probabilités de tous les chemins qui correspondent à un même événement sur l’arbre.