Lernzettel: Introduction aux fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Fonction affine : définition et exemples
2. Cas particuliers : fonctions linéaires et constantes
3. Courbe d’une fonction affine : droite et ordonnée à l’origine
4. Coefficient directeur : calcul et interprétation
5. Déterminer a et b à partir de deux points
6. Signe du coefficient directeur : droite montante ou descendante

📖 1. Fonction affine : définition et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction qui s’écrit sous la forme $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ réels.
• Paramètres réels a et b : Les coefficients $a$ et $b$ sont deux réels qui déterminent respectivement la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite.

📝 Points essentiels

• Toute fonction de la forme $f(x)=ax+b$ est affine, avec $a$ et $b$ réels.
• Exemple affine : $f(x)=2x-3$ correspond à $a=2$ et $b=-3$.
• Exemple affine : $f(x)=-3x+1$ correspond à $a=-3$ et $b=1$.
• Exemple affine : $f(x)=5x$ est affine avec $a=5$ et $b=0$.
• Exemple affine : $f(x)=3$ est affine avec $a=0$ et $b=3$.
• Les expressions $2\sqrt{x}+1$ et $1/x+2$ ne sont pas affines car elles ne s’écrivent pas $ax+b$.

💡 Astuce mémo

Forme repère : affine ⇔ « $ax+b$ » (tout le reste n’est pas affine).

📖 2. Cas particuliers : fonctions linéaires et constantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction affine dont le terme constant est nul, donc de la forme $f(x)=ax$.
• Fonction constante : Une fonction constante est une fonction affine dont le coefficient de $x$ est nul, donc de la forme $f(x)=b$.

📝 Points essentiels

• Si $b=0$ dans $f(x)=ax+b$, alors $f(x)=ax$ et la fonction est dite linéaire.
• Si $a=0$ dans $f(x)=ax+b$, alors $f(x)=b$ et la fonction est dite constante.
• L’exemple $f(x)=2x$ est linéaire car il s’écrit $ax$ avec $b=0$.
• L’exemple $f(x)=5$ est constant car il s’écrit $b$ avec $a=0$.
• L’exemple $f(x)=0$ est à la fois constant et linéaire car $a=0$ et $b=0$.

💡 Astuce mémo

Zéro constant ⇒ linéaire ; zéro coefficient de $x$ ⇒ constante.

📖 3. Courbe d’une fonction affine : droite et ordonnée à l’origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe d’une fonction affine : La courbe représentative d’une fonction affine est une droite dans le repère.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est le réel $b$ dans $f(x)=ax+b$, c’est la valeur de la fonction quand $x=0$.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction affine $f(x)=ax+b$ est une droite.
• Le nombre $b$ est l’ordonnée à l’origine de cette droite.
• L’ordonnée à l’origine correspond au point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
• Pour $f(x)=ax+2$, l’ordonnée à l’origine vaut $2$.
• Pour $f(x)=ax-1$, l’ordonnée à l’origine vaut $-1$.

💡 Astuce mémo

Ordonnée à l’origine = « $b$ » = ce que vaut la droite sur l’axe des ordonnées.

📖 4. Coefficient directeur : calcul et interprétation

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est le réel $a$ dans $f(x)=ax+b$, qui correspond à la pente de la droite représentative.
• Pente de la droite : La pente est l’idée de « montée/descente » de la droite, et elle est égale au coefficient directeur $a$ pour une fonction affine.

📝 Points essentiels

• Dans $f(x)=ax+b$, le coefficient directeur est $a$.
• Le coefficient directeur est aussi appelé la pente de la droite.
• Pour deux points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ de la droite, on calcule $a$ avec une différence de $y$ sur une différence de $x$.
• La formule de calcul est $a=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$.
• Le coefficient directeur mesure le rapport entre le changement de la valeur de la fonction et le changement de $x$.

💡 Astuce mémo

Pente = « variation en $y$ / variation en $x$ ».

📖 5. Déterminer a et b à partir de deux points

🔑 Notions clés & Définitions

• **Détermination de $a$ et $b** : Déterminer$a$et$b$ consiste à identifier la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite à partir de points de son graphique.

📝 Points essentiels

• Pour trouver $a$, on utilise $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ à partir de deux points de la droite.
• Pour trouver $b$, on lit directement l’ordonnée à l’origine quand elle est donnée (ou on l’identifie via la droite).
• Exemple : $y_A=1$, $y_B=3$, $x_A=1$, $x_B=4$ donne $a=\dfrac{3-1}{4-1}=\dfrac{2}{3}$.
• Dans l’exemple de droite (A1), on a $b=1$ et $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{3}{2}$, donc $f(x)=\dfrac{3}{2}x+1$.
• Dans l’exemple de droite (D), on a $b=3$ et $a=\dfrac{y_C-y_D}{x_C-x_D}=\dfrac{0-3}{1-0}=-3$, donc $f(x)=-3x+3$.
• Remarque : le rapport $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ peut s’écrire $\dfrac{h}{l}$ avec $h$ la hauteur et $l$ la longueur (sur le schéma).

💡 Astuce mémo

Deux points → $a$ par « $\Delta y/\Delta x$ » ; $b$ par l’ordonnée à l’origine.

📖 6. Signe du coefficient directeur : droite montante ou descendante

🔑 Notions clés & Définitions

• **Signe de $a** : Le signe du coefficient directeur$a$indique si la droite représentative monte ou descend quand$x$ augmente.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la droite monte.
• Si $a<0$, la droite descend.
• Le sens de variation dépend uniquement du signe de $a$ pour une fonction affine.
• Exemple : pour $g(x)=-a+3$, le signe de la pente dépend de la valeur de $-a+3$ (à utiliser pour décider si la droite monte ou descend).
• Représenter la droite d’une fonction affine revient à placer l’ordonnée à l’origine $b$ et à utiliser le signe de $a$ pour le sens de la pente.

💡 Astuce mémo

$a>0$ monte ; $a<0$ descend.

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions linéaires vs constantes

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre affine et non affine : $2\sqrt{x}+1$ et $1/x+2$ ne sont pas de la forme $ax+b$.
2. Oublier que $b$ est l’ordonnée à l’origine : c’est la valeur quand $x=0$.
3. Se tromper dans la formule de $a$ : il faut bien $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (et pas l’inverse).
4. Prendre le mauvais point pour calculer $a$ : $x_B-x_A$ doit être non nul.
5. Croire que le sens de variation dépend de $b$ : c’est le signe de $a$ qui détermine montée/descente.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une fonction affine à partir de sa forme $f(x)=ax+b$.
2. Savoir donner $a$ et $b$ pour des exemples du type $2x-3$, $-3x+1$, $5x$, $3$.
3. Savoir identifier les cas particuliers : linéaire si $b=0$, constante si $a=0$.
4. Savoir expliquer pourquoi la courbe d’une fonction affine est une droite et relier $b$ à l’ordonnée à l’origine.
5. Savoir calculer le coefficient directeur $a$ à partir de deux points avec $a=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$.
6. Savoir déterminer $a$ et $b$ pour une droite à partir d’informations de graphique (hauteur/longueur ou coordonnées).
7. Savoir conclure montée/descente à partir du signe de $a$ et utiliser ce signe pour représenter la droite.