Lernzettel: Introduction aux fonctions affines et linéaires

📋 Plan du Cours

1. Expressions algébriques des fonctions
2. Représentations graphiques des fonctions
3. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine
4. Accroissements et calcul du coefficient

📖 1. Expressions algébriques des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine associe à tout nombre x le nombre ax+b, avec a et b des nombres donnés.
• Fonction linéaire : Une fonction linéaire associe à tout nombre x le nombre ax, avec a un nombre donné.
• Fonction constante : Une fonction constante associe à tout nombre x le nombre b, avec b un nombre donné.

📝 Points essentiels

• Une fonction linéaire a la forme ax et vérifie donc le cas particulier d’une fonction affine avec b=0.
• Une fonction constante garde la même valeur pour tout x, car f(x)=b quelle que soit la valeur de x.
• Pour reconnaître le type via une expression littérale, on regarde la présence et la valeur de b dans ax+b.

💡 Astuce mémo

Affine = ax+b : le +b, c’est “l’origine bouge” ; linéaire = ax : “origine fixe” (b=0) ; constante = b : “toujours pareil”.

📖 2. Représentations graphiques des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite passant par l’origine : Une droite passant par l’origine caractérise graphiquement une fonction linéaire.
• Droite parallèle à l’axe des abscisses : Une droite parallèle à l’axe des abscisses caractérise graphiquement une fonction constante.
• Droite : Toute fonction affine est représentée graphiquement par une droite.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine est représentée par une droite.
• Une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l’origine.
• Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Droit = affine ; Droit qui passe par 0 = linéaire ; Droit “à plat” (parallèle Ox) = constante.

📖 3. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est le nombre a dans une droite représentative f(x)=ax+b.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est le nombre b, valeur de la fonction quand x=0 pour f(x)=ax+b.

📝 Points essentiels

• L’ordonnée à l’origine se lit en prenant x=0, c’est l’endroit où la droite coupe l’axe des ordonnées.
• Le coefficient directeur correspond à la pente de la droite et se lit sur le graphique.
• Si a>0 alors la droite est croissante quand on va de gauche à droite ; si a<0 alors elle est décroissante.

💡 Astuce mémo

Ordonnée à l’origine = “valeur au départ” (x=0) ; signe de a = “sens” (montée si positif, descente si négatif).

📖 4. Accroissements et calcul du coefficient

🔑 Notions clés & Définitions

• Accroissements : Les accroissements servent à déterminer le coefficient directeur à partir de deux points de la droite.

📝 Points essentiels

• Pour deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) d’une droite ax+b, on a a = (yB−yA)/(xB−xA).
• Dans l’exemple f(2)=3 et f(5)=4, on obtient a = (3−4)/(2−5) = 1/3.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction linéaire et affine : la linéaire n’a pas de terme +b, donc elle vérifie b=0.
2. Oublier que l’ordonnée à l’origine correspond à x=0 et pas à x=1.
3. Lire un graphique en sens inverse : la croissance/décroissance se juge en allant de gauche à droite.
4. Prendre le mauvais signe dans la formule du coefficient directeur : il faut calculer (yB−yA)/(xB−xA).
5. Confondre “droite parallèle à Ox” avec “droite passant par l’origine” : la première correspond à une constante, la seconde à une linéaire.

✅ Checklist Examen

1. Identifier une fonction linéaire à partir de son expression (forme ax sans terme +b).
2. Identifier une fonction affine à partir de son expression (forme ax+b avec b non imposé à 0).
3. Identifier une fonction constante à partir de son expression (forme f(x)=b).
4. Reconnaître une fonction affine sur un graphique en vérifiant que la représentation est une droite.
5. Reconnaître une fonction linéaire sur un graphique en vérifiant que la droite passe par l’origine.
6. Reconnaître une fonction constante sur un graphique en vérifiant que la droite est parallèle à l’axe des abscisses.
7. Donner l’ordonnée à l’origine d’une fonction f(x)=ax+b en utilisant x=0.
8. Donner le coefficient directeur d’une fonction f(x)=ax+b en repérant le nombre a.
9. Déterminer le sens de variation (croissante ou décroissante) à partir du signe du coefficient directeur a.
10. Calculer le coefficient directeur à partir de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) via a = (yB−yA)/(xB−xA).
11. Reproduire le résultat de l’exemple avec f(2)=3 et f(5)=4 pour trouver a = 1/3.