Lernzettel: Introduction aux fonctions et factorisation

📋 Plan du Cours

1. Factorisation et identités remarquables
2. Fonctions, image et antécédent
3. Courbe représentative et domaines
4. Équations graphiques
5. Inéquations graphiques
6. Paraboles du second degré
7. Racines et signes du polynôme

📖 1. Factorisation et identités remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Le développement est la transformation d’une expression écrite sous forme de produit en une somme de termes équivalents.
• Factorisation : La factorisation est la transformation d’une expression écrite sous forme de somme en un produit de facteurs.
• Identité remarquable du carré somme : L’identité remarquable $(a+b)^2$ exprime $a^2+2ab+b^2$ comme un carré de la somme.
• Identité remarquable du carré différence : L’identité remarquable $(a-b)^2$ exprime $a^2-2ab+b^2$ comme un carré de la différence.
• Identité remarquable différence de carrés : L’identité remarquable $(a+b)(a-b)$ exprime $a^2-b^2$ comme un produit de deux facteurs.

📝 Points essentiels

• Une expression est factorisée si elle s’écrit comme un produit de facteurs, tandis qu’elle est développée si elle s’écrit comme une somme de termes.
• Pour tous réels $a,b,c,d,k$, on a $ka+kb=k(a+b)$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.
• Pour tous réels $a,b$, $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
• Pour tous réels $a,b$, $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
• Pour tous réels $a,b$, $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
• Attention : $x^2+2x+1=(x+1)^2$ et $9x^2-6x+1=(3x-1)^2$ et $16a^2-4b^2=(4a+2b)(4a-2b)$.

💡 Astuce mémo

Carrés et différence de carrés : somme→$+$, différence→$-$, et $a^2-b^2$→produit avec $(a+b)(a-b)$.

📖 2. Fonctions, image et antécédent

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : L’ensemble de définition $\mathcal D$ est l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f$ est définie.
• Image d’un nombre : L’image d’un nombre $x$ par $f$, notée $f(x)$, est la valeur réelle obtenue quand on remplace $x$ dans l’expression de la fonction.
• Antécédent : Un antécédent de $y$ par la fonction $f$ est un réel $x$ tel que $f(x)=y$.
• Courbe représentative : La courbe représentative $C$ de $f$ est l’ensemble des points $(x;y)$ tels que $x\in\mathcal D$ et $y=f(x)$.

📝 Points essentiels

• Une fonction associe à chaque $x\in\mathcal D$ une unique valeur $f(x)$, mais un $y$ peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
• Lorsque $y=f(x)$, alors $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction.
• Un point $M(x;y)$ appartient à la courbe $C$ si et seulement si $x\in\mathcal D$ et $y=f(x)$.
• L’équation d’une courbe $C$ dans le repère s’écrit sous la forme $y=f(x)$.
• Domaines : pour $f(x)=x^2$, $\mathcal D=\mathbb R$ ; pour $g(x)=\sqrt{x}$, $\mathcal D=\mathbb R^+$ ; pour $h(x)=1/x$, $\mathcal D=\mathbb R^*$ ; pour $\theta(x)=x^3$, $\mathcal D=\mathbb R$.

💡 Astuce mémo

Image = sortie unique $f(x)$ ; antécédent = entrée possible $x$ telle que $f(x)=y$.

📖 3. Courbe représentative et domaines

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation fonctionnelle : La notation $f:\mathbb R\to\mathbb R$ indique que la fonction prend en entrée des réels et renvoie des réels.
• Domaine en réunion d’intervalles : Un domaine de définition peut être un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\mathbb R$.

📝 Points essentiels

• Dans le repère, les points de la courbe $C$ ont pour coordonnées $(x;y)$ avec $x$ appartenant au domaine $\mathcal D$ et $y=f(x)$.
• Le domaine de $\sqrt{x}$ est $[0; +\infty[$ car la racine carrée impose une valeur $x\ge 0$.
• Le domaine de $1/x$ est $\mathbb R\setminus\{0\}$ car $x=0$ rend l’expression indéfinie.
• Pour $x^2$ et $x^3$, le domaine est $\mathbb R$ car ces fonctions sont définies pour tout réel $x$.
• Savoir lire le domaine : si $x$ n’est pas dans $\mathcal D$, alors il n’existe aucun point de la courbe avec cette abscisse.

💡 Astuce mémo

Domaine = “où je peux placer $x$ sans casser la définition” (ex : $1/x$ interdit $0$ ; $\sqrt{x}$ interdit les $x<0$).

📖 4. Équations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du type $f(x)=k$ : Une équation $f(x)=k$ cherche les valeurs de $x$ qui donnent une image égale à la constante $k$.
• **Droite horizontale $y=k** : La droite d’équation$y=k$est la représentation de toutes les valeurs de points ayant la même ordonnée$k$.

📝 Points essentiels

• Graphiquement, les solutions de $f(x)=k$ sont les abscisses des points où la courbe de $f$ coupe la droite $y=k$.
• Cette méthode consiste à repérer les intersections entre le graphe $C$ et la droite horizontale d’ordonnée $k$.
• Pour trouver les solutions, on ne lit que les abscisses des points d’intersection, pas les ordonnées.
• L’équation $f(x)=k$ équivaut à chercher les $x$ pour lesquels le point $(x;k)$ appartient à la courbe $C$.
• Si une courbe ne coupe pas $y=k$, alors l’équation n’a pas de solution dans le domaine considéré.

💡 Astuce mémo

Intersection = égalité : couper $y=k$ signifie $f(x)$ vaut exactement $k$.

📖 5. Inéquations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation $f(x)<k$ : L’inéquation $f(x)<k$ décrit les $x$ pour lesquels l’image par $f$ est strictement inférieure à $k$.
• Zone sous la droite : Les solutions graphiques se repèrent par rapport à la droite $y=k$ : au-dessous correspond à $<$.

📝 Points essentiels

• Graphiquement, résoudre $f(x)<k$ revient à prendre les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessous de la droite $y=k$.
• Pour obtenir l’ensemble des solutions, on décrit l’abscisse min et max de la portion de courbe sous $y=k$.
• Dans l’exemple avec $\sqrt{x}<2$, les solutions sont les $x$ tels que $x\in[0;4[$.
• Le point $x=0$ est inclus dans $[0;4[$ car $\sqrt{0}<2$ est vrai.
• La borne $4$ est exclue car $\sqrt{4}<2$ est faux, donc le point d’abscisse $4$ n’appartient pas à la solution.

💡 Astuce mémo

$<$ = “en dessous sans toucher” : point de contact sur $y=k$ ne compte pas.

📖 6. Paraboles du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction de degré 2 peut s’écrire sous la forme $ax^2$, $ax^2+b$ ou $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne 0$.
• Translation verticale : La translation verticale d’une courbe d’amplitude $b$ déplace toutes ses ordonnées de $b$ sans changer les abscisses.
• Extremum de la parabole : L’extrémum est le point le plus haut ou le plus bas de la parabole selon le signe de $a$.
• Parabole factorisée : Une forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ décrit une parabole dont les zéros sont $x_1$ et $x_2$.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut, et si $a<0$ elle est tournée vers le bas.
• La courbe de $ax^2+b$ se déduit de celle de $ax^2$ par une translation verticale de valeur $b$.
• Dans $ax^2$ et $ax^2+b$, l’extremum est atteint pour $x=0$.
• Dans $a(x-x_1)(x-x_2)$, l’extremum est atteint pour $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$.
• Exemple : pour $h(x)=a(x+1)(x-3)$ avec $x_1=-1$ et $x_2=3$, l’abscisse de l’extremum vaut $1$ et l’ordonnée se calcule par $h(1)=-4$.

💡 Astuce mémo

Extremum = milieu des racines : pour $a(x-x_1)(x-x_2)$, c’est au $\frac{x_1+x_2}{2}$.

📖 7. Racines et signes du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines d’un polynôme : Les racines d’un polynôme factorisé $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ sont les valeurs de $x$ qui annulent le polynôme, donc $f(x)=0$.
• Signe du polynôme : Le signe du polynôme indique si $f(x)$ est positif ou négatif pour chaque intervalle de $x$ séparé par les racines.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ de degré 2, les deux racines sont les solutions de $f(x)=0$, et elles sont $x_1$ et $x_2$.
• Si on suppose $x_1<x_2$ et $a>0$, alors $f(x)$ est positif sur $]-\infty;x_1[$, puis négatif entre $x_1$ et $x_2$, puis positif sur $]x_2;+\infty[$.
• Si on suppose $x_1<x_2$ et $a<0$, alors le signe s’inverse : négatif avant $x_1$, positif entre $x_1$ et $x_2$, puis négatif après $x_2$.
• Les racines sont exactement les abscisses où le graphe coupe l’axe des abscisses.
• Le coefficient $a$ pilote l’allure globale (parabole vers le haut ou vers le bas) et donc le schéma de signe.

💡 Astuce mémo

Schéma rapide : $a>0$ donne “+ - +” entre $-\infty, x_1, x_2, +\infty$ ; $a<0$ donne “- + -”.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre développement et factorisation : une expression produit doit se reconnaître comme factorisée, même si elle contient des termes entre parenthèses.
2. Croire que $ax^2=(ax)^2 : en général c’est faux, car$(3x)^2=9x^2$alors que$3x^2$n’est pas égal à$9x^2$.
3. Oublier que le domaine impose des contraintes : par exemple $\sqrt{x}$ interdit les $x<0$ et $1/x$ interdit $x=0$.
4. Lire une inéquation comme une équation : pour $f(x)<k$, les points exactement sur $y=k$ ne font pas partie des solutions.
5. Se tromper sur l’emplacement de l’extremum : pour $ax^2$ et $ax^2+b$, c’est $x=0$, mais pour $a(x-x_1)(x-x_2)$ c’est $\frac{x_1+x_2}{2}$.
6. Inverser le signe selon $a$ : avec $x_1<x_2$, $a>0$ donne “+ - +” et $a<0$ donne “- + -”.
7. Penser que les deux méthodes graphiques utilisent la même zone : pour $f(x)=k$ on cherche les abscisses d’intersection, alors que pour $f(x)<k$ on cherche la zone strictement en dessous.

✅ Checklist Examen

1. Savoir distinguer une expression développée d’une expression factorisée à partir de son écriture.
2. Maîtriser les règles $ka+kb=k(a+b)$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.
3. Utiliser correctement les identités remarquables $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ et $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
4. Éviter l’erreur générale $ax^2\ne (ax)^2$ et savoir donner un contre-exemple numérique simple.
5. Définir l’ensemble de définition $\mathcal D$, l’image $f(x)$ et la notion d’antécédent de $y$.
6. Savoir décrire graphiquement le domaine : comprendre que la courbe n’existe que pour les $x\in\mathcal D$.
7. Résoudre graphiquement une équation $f(x)=k$ : lire les abscisses des intersections entre $y=f(x)$ et $y=k$.
8. Résoudre graphiquement une inéquation $f(x)<k$ : prendre les abscisses des points de la courbe strictement sous $y=k$.
9. Déduire un domaine de définition : $\mathcal D=\mathbb R$ pour $x^2$ et $x^3$, $\mathcal D=[0;+\infty[$ pour $\sqrt{x}$, $\mathcal D=\mathbb R^*$ pour $1/x$.
10. Reconnaître une parabole de degré 2 à partir des formes $ax^2$, $ax^2+b$ et $a(x-x_1)(x-x_2)$.
11. Déterminer le sens de la parabole selon le signe de $a$ et localiser l’extremum selon la forme utilisée.
12. Dans $a(x-x_1)(x-x_2)$, calculer l’abscisse de l’extremum comme \frac{x_1+x_2}{2 puis l’ordonnée via l’expression de la fonction.
13. Établir le signe d’un polynôme factorisé $a(x-x_1)(x-x_2)$ en utilisant la règle “+ - +” si $a>0$ et “- + -” si $a<0$ avec $x_1<x_2$.