Lernzettel: Introduction aux fonctions et leur représentation

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation des fonctions
2. Image et antécédent
3. Représentation graphique d’une fonction
4. Résolution graphique d’équations et d’inéquations
5. Taux de variation et monotonie

📖 1. Définition et notation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• fonction : Une fonction associe à chaque nombre réel $x$ un unique nombre réel $f(x)$.
• notation $x\mapsto f(x)$ : La notation $x\mapsto f(x)$ indique l’association de l’input $x$ à sa sortie $f(x)$.
• équation $y=f(x)$ : L’écriture $y=f(x)$ reformule l’idée qu’une courbe représente les valeurs de sortie $y$ obtenues pour chaque $x$.

📝 Points essentiels

• Dire que $f(2)=5$ signifie que $2\mapsto 5$ et donc que la sortie pour $x=2$ vaut $5$.
• Une fonction est une application à une entrée $x$ et une seule sortie réelle $f(x)$ pour chaque $x$ du domaine.
• L’expression littérale d’une fonction peut être obtenue à partir d’un contexte (ex. $f(x)=3x$ pour une aire de dimensions $3$ et $x$).

💡 Astuce mémo

Antécédent = entrée, image = sortie : $x \mapsto f(x)$.

📖 2. Image et antécédent

🔑 Notions clés & Définitions

• image : L’image d’un nombre $a$ par $f$ est la valeur $f(a)$ obtenue en appliquant la fonction à $a$.
• antécédent : Un antécédent de $b$ par $f$ est un nombre $a$ tel que $f(a)=b$.

📝 Points essentiels

• Le fait que $f(2)=5$ veut dire que 5 est l’image de 2 par $f$.
• Dire que 2 est un antécédent de 5 revient à écrire $f(2)=5$.
• Un nombre possède une image unique, mais peut avoir plusieurs antécédents.
• Pour trouver une image par calcul, on remplace $x$ par la valeur donnée dans l’expression de la fonction (ex. $g(x)=x!-2$ donne $g(6)=34$).
• Pour trouver un antécédent, on résout $f(x)=b$ (ex. $2x-3=-5$ donne $x=-1$).

💡 Astuce mémo

Même sortie $b$ possible avec plusieurs entrées : antécédents multiples, image unique.

📖 3. Représentation graphique d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• courbe représentative : La courbe représentative d’une fonction est l’ensemble des points de coordonnées $(x,f(x))$ associés aux valeurs de $x$.
• tableau de valeurs : Un tableau de valeurs liste des entrées $x$ et les sorties correspondantes $f(x)$ pour construire la représentation graphique.

📝 Points essentiels

• Dans un repère, on place en abscisse les $x$ et en ordonnée les valeurs $f(x)$ correspondantes.
• Tout point de la courbe peut s’écrire sous la forme $(x\,;\,f(x))$.
• L’équation $y=f(x)$ peut décrire la courbe représentée graphiquement.
• Pour construire la courbe, on relie les points obtenus à partir du tableau de valeurs pour former une courbe.

💡 Astuce mémo

Coordonnées : $x$ en horizontal, $f(x)$ en vertical.

📖 4. Résolution graphique d’équations et d’inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• résolution graphique d’équations : Résoudre une équation graphiquement consiste à chercher les abscisses dont l’ordonnée correspond à la valeur demandée.
• résolution graphique d’inéquations : Résoudre une inéquation graphiquement consiste à repérer les abscisses pour lesquelles l’ordonnée est strictement au-dessus ou au-dessous d’un seuil.

📝 Points essentiels

• Résoudre $5x-x!=4$ revient à chercher les $x$ tels que $f(x)=4$ et donc à lire les abscisses des points d’ordonnée 4.
• Pour l’équation $f(x)=4$ sur la courbe donnée, les solutions lues sont $x=1$ ou $x=4$, soit $S=\{1\,;\,4\}$.
• Par lecture graphique, les solutions obtenues sont approchées et il peut exister d’autres solutions hors des limites du dessin.
• Résoudre $5x-x!>4$ revient à trouver les $x$ dont l’ordonnée de la courbe est strictement supérieure à 4.
• Avec la courbe fournie, l’inéquation $f(x)>4$ donne $x$ strictement entre 1 et 4, soit $S=]1\,;\,4[$.

💡 Astuce mémo

Égalité : on vise une ordonnée exacte ; inégalité : on cherche une ordonnée strictement au-dessus/au-dessous.

📖 5. Taux de variation et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• taux de variation : Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ mesure le quotient de la variation des valeurs par la variation des abscisses.
• fonction monotone : Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est croissante, décroissante ou constante sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est égal à $(f(b)-f(a))/(b-a)$ pour $a\ne b$.
• Géométriquement, ce taux correspond à la pente de la droite passant par les points d’abscisses $a$ et $b$ de la courbe.
• Pour $f(x)=2x!+1$, le taux de variation entre 1 et 3 vaut 8 et correspond à la pente entre les points d’abscisses 1 et 3.
• Si le taux de variation entre deux nombres quelconques d’un intervalle $I$ est positif, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ; s’il est négatif, strictement décroissante ; s’il est nul, constante.
• Pour $f(x)=5x-3$, le taux de variation entre $a$ et $b$ vaut 5 et comme $5>0$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Signe du taux : + croissant, − décroissant, 0 constant.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image est $f(a)$, l’antécédent est une valeur $a$ telle que $f(a)=b$.
2. Penser qu’un nombre peut avoir plusieurs images : une image est unique pour une entrée donnée.
3. Chercher la solution d’une équation graphique sans lire l’ordonnée demandée sur l’axe vertical.
4. Oublier que les solutions lues sur un graphique sont approchées et peuvent manquer si elles sont hors du cadre dessiné.
5. Confondre sens d’une inéquation stricte : $f(x)>4$ exclut les points d’ordonnée exactement égale à 4.
6. Croire qu’un taux de variation nul implique seulement une variation faible : il implique une fonction constante sur l’intervalle considéré.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer correctement qu’une fonction associe à chaque réel $x$ un unique réel $f(x)$.
2. Interpréter $f(2)=5$ sous la forme $2\mapsto 5$ et identifier l’image de 2 comme 5.
3. Définir un antécédent de $b$ comme une valeur $a$ telle que $f(a)=b$.
4. Calculer une image par remplacement de $x$ dans l’expression de la fonction (comme $g(6)=34$ dans le cours).
5. Trouver un antécédent en résolvant l’équation $f(x)=b$ (comme pour $f(x)=2x-3$ et $b=-5$).
6. Lire une valeur $f(x)$ sur la courbe en utilisant les ordonnées (axe vertical).
7. Construire la représentation à partir d’un tableau de valeurs en plaçant $(x,f(x))$ puis en reliant les points.
8. Résoudre graphiquement une équation $f(x)=k$ en repérant les points d’ordonnée $k$ puis en lisant les abscisses correspondantes.
9. Résoudre graphiquement une inéquation stricte $f(x)>k$ en repérant où la courbe est strictement au-dessus de la ligne $y=k$.
10. Calculer un taux de variation avec $(f(b)-f(a))/(b-a)$ et l’interpréter comme pente géométrique.
11. Déduire la monotonie à partir du signe du taux de variation : + croissante, − décroissante, 0 constante.
12. Justifier qu’une fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ en montrant que son taux de variation vaut un nombre positif (ex. 5).