Lernzettel: Introduction aux fonctions et leur représentation graphique

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction : image et antécédent
2. Point de vue graphique et lecture
3. Ensemble de définition d’une fonction
4. Minimum et maximum d’une fonction
5. Signe de f(x) et tableau de signe
6. Résolution graphique d’équations et inéquations
7. Variations d’une fonction et tableau de variation

📖 1. Notion de fonction : image et antécédent

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à tout réel $x$ d’un ensemble $D$ non vide un unique réel noté $f(x)$.
• Ensemble de définition : L’ensemble de définition est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels la valeur $f(x)$ existe.
• Image et antécédent : L’image de $x$ est $f(x)$ et l’antécédent d’une valeur $y$ est tout $x$ tel que $f(x)=y$.

📝 Points essentiels

• Chaque $x$ de $D$ a une et une seule image par $f$.
• Une même valeur peut avoir plusieurs antécédents.
• Sur un schéma, $x$ est relié au nombre correspondant $f(x)$ par le procédé de calcul.

💡 Astuce mémo

Image = résultat ; Antécédent = origine du résultat.

📖 2. Point de vue graphique et lecture

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : La courbe représentative de $f$ est l’ensemble des points $M(x;f(x))$ quand $x$ parcourt l’ensemble de définition $D$.
• Lecture graphique : Lire sur le graphique consiste à repérer une valeur de $x$ ou de $y$ puis à utiliser la courbe pour obtenir l’autre valeur.

📝 Points essentiels

• Pour lire $f(2)$, on repère $x=2$, on rejoint la courbe puis on lit l’ordonnée.
• Pour lire les antécédents de $1$, on repère $y=1$, on trace mentalement la horizontale jusqu’à la courbe puis on lit les abscisses.
• Si une valeur $y$ n’est jamais atteinte par la courbe, elle n’a pas d’antécédent.

📖 3. Ensemble de définition d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : L’ensemble de définition regroupe tous les réels pour lesquels la fonction admet une valeur $f(x)$.
• Notation $D_f$ : L’ensemble de définition est noté en général $D_f$ ou $D$.

📝 Points essentiels

• Graphiquement, un point appartient à la courbe seulement si son abscisse est dans $D_f$.
• Si un point n’appartient pas à la courbe, l’abscisse correspondante n’est pas dans $D_f$.
• On peut aussi déterminer $D_f$ à partir de l’expression de $f(x)$ ou d’un tableau.

📖 4. Minimum et maximum d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Un maximum $M$ est une valeur atteinte par $f$ en un point $x=a$ et telle que f(x)leq M pour tout $x$ de l’intervalle.
• Minimum : Un minimum $m$ est une valeur atteinte par $f$ en un point $x=a$ et telle que f(x)geq m pour tout $x$ de l’intervalle.

📝 Points essentiels

• $f$ admet un maximum $M$ atteint en $x=a$ si $f(a)=M$ et f(x)leq M pour tout $x$ de l’intervalle.
• $f$ admet un minimum $m$ atteint en $x=a$ si $f(a)=m$ et f(x)geq m pour tout $x$ de l’intervalle.
• Sur l’exemple, le maximum vaut $2$ atteint en $x=3$ et le minimum vaut $-1$ atteint en $x=-2$.

💡 Astuce mémo

Max = plus haut ; Min = plus bas (et c’est atteint).

📖 5. Signe de f(x) et tableau de signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe de $f(x)$ : Le signe de $f(x)$ indique si $f(x)$ est positif, négatif ou nul selon la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.
• Tableau de signe : Un tableau de signe résume, pour chaque intervalle de $x$, le signe de $f(x)$ et les valeurs où $f(x)=0$.

📝 Points essentiels

• Si la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, alors f(x)geq 0 (et strictement $>0$ hors zéros).
• Si la courbe est au-dessous, alors f(x)leq 0 (et strictement $<0$ hors zéros).
• Les zéros correspondent aux abscisses où la courbe coupe l’axe : sur l’exemple, $f(x)=0$ pour $x=-2,5$ et $x=-1,5$.

💡 Astuce mémo

Au-dessus = + ; en dessous = - ; coupe l’axe = 0.

📖 6. Résolution graphique d’équations et inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection courbe-droite : Résoudre $f(x)=k$ graphiquement revient à trouver les abscisses des points d’intersection entre la courbe $C_f$ et la droite $y=k$.
• Intersection courbes : Résoudre $f(x)=g(x)$ graphiquement revient à trouver les abscisses des points d’intersection entre $C_f$ et $C_g$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=1$, les solutions lues sont S=-2;3.
• Pour $f(x)>-2$, les solutions lues sont S=[-4;-1[cup]2;4].
• Pour $f(x)>g(x)$, on prend les abscisses où $C_f$ est au-dessus de $C_g$ ; sur l’exemple S=[-4;-3[cup]1;4].

📖 7. Variations d’une fonction et tableau de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance et décroissance : Une fonction est croissante si $a<b$ implique $f(a)<f(b)$, et décroissante si $a<b$ implique $f(a)>f(b)$.
• Tableau de variation : Le tableau de variation résume l’évolution de $f$ : valeurs de $x$ et valeurs correspondantes de $f(x)$ aux changements de sens.

📝 Points essentiels

• Une fonction est constante sur $I$ si pour tous $a,b$ de $I$, on a $f(a)=f(b)$.
• Une fonction est monotone sur $I$ si elle garde le même sens de variation sur tout l’intervalle.
• Dans un tableau, on note $D_f$ puis on place les changements de variation avec la valeur de $x$ et la valeur de $f(x)$ correspondante.

💡 Astuce mémo

Tableau = $x$ en ligne, $f(x)$ en “marches” (croît, décroît, reste).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image est $f(x)$, l’antécédent est un $x$ qui donne cette image.
2. Croire qu’une valeur $y$ a toujours un seul antécédent : une même valeur peut être atteinte plusieurs fois.
3. Se tromper de signe en lisant la courbe : au-dessus de l’axe correspond à f(x)geq 0 et en dessous à f(x)leq 0.
4. Oublier que pour $f(x)>k$ on ne prend pas les points où $f(x)=k$ (ceux-ci ne sont pas inclus).

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’une fonction, identifier $D_f$, et distinguer image $f(x)$ et antécédent.
2. Savoir lire sur un graphique $f(2)$ et déterminer le(s) antécédent(s) d’une valeur $y$.
3. Savoir déterminer l’ensemble de définition à partir de la courbe (appartient / n’appartient pas) et le noter $D_f$ ou $D$.
4. Savoir repérer sur une courbe le maximum et le minimum et donner leurs valeurs et abscisses d’atteinte.
5. Savoir déterminer le signe de $f(x)$ sur des intervalles et construire un tableau de signe à partir des positions par rapport à l’axe.
6. Savoir résoudre graphiquement $f(x)=k$, $f(x)>k$, $f(x)=g(x)$ et $f(x)>g(x)$ en lisant intersections et “au-dessus/au-dessous”.
7. Savoir définir croissance, décroissance, constance, monotonicité et compléter un tableau de variation avec $D_f$ et les changements de sens.