Lernzettel: Introduction aux fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Forme développée du polynôme du second degré
3. Parabole et orientation selon le signe de a

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est une fonction réelle de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b,c\in\mathbb R$ et $a\ne 0$.
• Coefficient $a$ : Le coefficient $a$ est le réel non nul qui multiplie $x^2$ dans la forme $ax^2+bx+c$ d’une fonction du second degré.

📝 Points essentiels

• Une fonction du second degré s’écrit toujours $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.
• Les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont des réels.
• Exemple : $7x^2-5x+3$ correspond à $a=7$, $b=-5$, $c=3$.
• Exemple : $x^2$ correspond à $a=1$, $b=0$, $c=0$.
• Exemple : $h(x)=-\frac12 x^2-3x+\sqrt7$ correspond à $a=-\frac12$, $b=-3$, $c=\sqrt7$.

💡 Astuce mémo

Forme standard : $ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$ (sinon ce n’est pas du 2nd degré).

📖 2. Forme développée du polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée du polynôme du second degré : La forme développée d’un polynôme du second degré est l’écriture $ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.

📝 Points essentiels

• On appelle $ax^2+bx+c$ la forme développée du polynôme du second degré.
• Dans la forme développée, $a$ est le coefficient de $x^2$.
• Dans la forme développée, $b$ est le coefficient de $x$.
• Dans la forme développée, $c$ est le terme constant.

📖 3. Parabole et orientation selon le signe de a

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Une parabole est la courbe associée à une fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Orientation de la parabole : L’orientation de la parabole dépend du signe de $a$ dans $ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

• Les courbes des fonctions polynômes du second degré sont des paraboles.
• Si $a>0$, les branches de la parabole sont vers le haut.
• Si $a<0$, les branches de la parabole sont vers le bas.
• L’orientation est déterminée uniquement par le signe de $a$, pas par $b$ ou $c$.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : $+$ vers le haut, $-$ vers le bas.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la forme d’une fonction du second degré avec une expression où $a=0$ : si $a=0$, ce n’est plus du second degré.
2. Oublier que $a$, $b$ et $c$ sont des réels : un terme comme $\sqrt7$ peut jouer le rôle de $c$.
3. Se tromper sur l’orientation : $a>0$ donne des branches vers le haut et $a<0$ vers le bas.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une fonction du second degré sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.
2. Savoir identifier $a$, $b$ et $c$ à partir d’une expression donnée.
3. Savoir écrire la forme développée $ax^2+bx+c$ d’un polynôme du second degré.
4. Savoir conclure que la courbe est une parabole.
5. Savoir déterminer l’orientation de la parabole à partir du signe de $a$ (haut si $a>0$, bas si $a<0$.