Lernzettel: Introduction aux fonctions quadratiques et leurs applications

📋 Plan du Cours

1. Second degré
2. Dérivées et variations
3. Suites arithmétiques et géométriques
4. Trigonométrie et vecteurs
5. Probabilités et statistiques
6. Limites et exponentielle

📖 1. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : Forme algébrique d’un trinôme du second degré sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Forme canonique : Forme d’un trinôme écrite comme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ pour repérer sommet et minimum/maximum.
• Discriminant : Expression $\Delta=b^2-4ac$ qui décide le nombre de solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$.

📝 Points essentiels

• Le discriminant vaut $\Delta=b^2-4ac$ et les solutions sont $x=(−b\pm\sqrt{\Delta})/(2a)$.
• Le sommet s’obtient avec $\alpha=−b/(2a)$ et $\beta=−\Delta/(4a)$ pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• La forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec les racines $x_1$ et $x_2$ données par la formule des solutions.
• Pour $a>0$, $f(x)$ est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles; pour $a<0$, c’est l’inverse.

💡 Astuce mémo

Discriminant = decide: $\Delta<0$ pas de racines réelles, $\Delta=0$ une racine, $\Delta>0$ deux racines.

📖 2. Dérivées et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivées usuelles : Ensemble de règles mémorisables pour dériver rapidement des fonctions de base comme $x^n$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$.
• Formules de dérivation : Règles de calcul reliant la dérivée d’une somme, d’un produit ou d’un quotient à celles de $u$ et $v$.
• Coefficient directeur tangente : Valeur $m=f'(a)$ qui donne la pente de la tangente au point d’abscisse $a$.

📝 Points essentiels

• Les dérivées usuelles incluent notamment $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(1/x)'=−1/x^2$, $(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})$ et $(e^x)'=e^x$.
• Les formules de dérivation donnent $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, et $(u/v)'=(u'v−uv')/v^2$.
• La tangente en $a$ s’écrit $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ et sa pente vaut $m=f'(a)$.
• Le taux de variation entre $a$ et $b$ vaut $[f(b)-f(a)]/(b-a)$.
• Les variations suivent le signe de $f'(x)$: $f'(x)>0$ croît, $f'(x)<0$ décroît, $f'(x)=0$ indique un extremum possible.

💡 Astuce mémo

Pente de $f$ = $f'$, donc signe de $f'$ = sens des variations (croît/décroît).

📖 3. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite où chaque terme s’obtient en ajoutant une constante $r$, avec $u_{n+1}=u_n+r$.
• Suite géométrique : Suite où chaque terme s’obtient en multipliant par une constante $q$, avec $u_{n+1}=qu_n$.
• Somme d’une suite géométrique : Somme des $n$ premiers termes d’une suite géométrique donnée par une formule fonction de $u_0$ et $q$.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique: $u_n=u_0+nr$ et aussi $u_n=u_1+(n-1)r$.
• Somme d’une suite arithmétique: $S=n(\text{premier}+\text{dernier})/2$.
• Pour une suite géométrique: $u_n=u_0q^n$ et $u_n=u_1q^{n-1}$.
• Somme d’une suite géométrique: $S=u_0(1-q^n)/(1-q)$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = +r (addition), Géométrique = ×q (multiplication).

📖 4. Trigonométrie et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Identité fondamentale : Relation de base du cercle trigonométrique: $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.
• Cercle trigonométrique : Repère qui associe à un angle des coordonnées $(\cos,\sin)$ sur le cercle unité.
• Vecteur colinéaire : Relation entre deux vecteurs porteurs d’une même direction, décrite par une condition de proportionnalité.

📝 Points essentiels

• On a $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)$ et $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)−\sin(a)\sin(b)$ ainsi que $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$.
• Table des valeurs: $\cos(\pi/3)=1/2$, $\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$ et $\cos(\pi/2)=0$, $\sin(\pi/2)=1$.
• Sur le cercle: $\pi/6\to(\sqrt{3}/2;1/2)$ et $3\pi/2\to(0;−1)$.
• Vecteur: $\overrightarrow{AB}=(x_B−x_A\ ;\ y_B−y_A)$ et norme $||u||=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Vecteurs colinéaires si $xu'y−yx'=0$ ou si $x/x'=y/y'$ (parallèles).

💡 Astuce mémo

Cercle unité: à l’angle $x$, on lit directement $(\cos x,\sin x)$.

📖 5. Probabilités et statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité $P(A|B)$ de $A$ sachant $B$, calculée à partir de $P(A\cap B)$ et $P(B)$.
• Espérance : Valeur moyenne $E(X)=\sum x_i p_i$ pondérée par les probabilités.
• Variance et écart-type : Mesures de dispersion avec $V(X)=E(X^2)−[E(X)]^2$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

📝 Points essentiels

• Formule d’union: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)−P(A\cap B)$.
• Probabilité conditionnelle: $P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$.
• Indépendance en produit: $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Espérance et variance: $E(X)=\sum x_i p_i$ et $V(X)=E(X^2)−[E(X)]^2$, puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
• Complément : $P(\bar A)=1−P(A)$.

💡 Astuce mémo

Union = somme − intersection, et variance = (moyenne des carrés) − (carré de la moyenne).

📖 6. Limites et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : Droite horizontale $y=L$ que $f(x)$ approche quand $x\to\pm\infty$.
• Limites utiles : Résultats directs quand $x\to+\infty$ pour des formes du type $1/x^k$ et $e^{-x}$.
• Propriétés de l’exponentielle : Règles de calcul pour $e^x$: produit, quotient, puissance et dérivation.

📝 Points essentiels

• Quand $x\to+\infty$, on a $1/x\to0$, $1/x^2\to0$, et $e^{-x}\to0$.
• Toujours avec $x\to+\infty$: $x^2\to+\infty$, $x^3\to+\infty$, $\sqrt{x}\to+\infty$ et $e^x\to+\infty$.
• Asymptote horizontale: si $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L$, alors $y=L$ est asymptote horizontale.
• Exponentielle: $e^a\times e^b=e^{a+b}$, $e^a/e^b=e^{a-b}$, $(e^a)^n=e^{an}$ et $1/e^a=e^{-a}$.
• Exponentielle: $e^{-x}=1/e^x$, $(e^x)'=e^x$, et $f(x)=e^{u}$ implique $f'(x)=u' e^{u}$ et $e^a=e^b\Leftrightarrow a=b$.

💡 Astuce mémo

Expo: dérivée identique $(e^x)'=e^x$, et égalité d’exposants $e^a=e^b\Leftrightarrow a=b$.

📊 Tableaux de synthèse

Signe d’une parabole selon a

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ avec la formule des solutions $x=(−b\pm\sqrt{\Delta})/(2a)$.
2. Oublier que $\beta=−\Delta/(4a)$ pour la forme canonique, alors que $\alpha$ vaut seulement $−b/(2a)$.
3. Se tromper de règle de dérivation pour le produit: $(uv)'\neq u'v+v' u$ écrit sans ordre, il faut $u'v+uv'$.
4. Mélanger $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)$ et l’identité $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.
5. Prendre la mauvaise formule de somme géométrique: utiliser celle d’arithmétique $n(\text{premier}+\text{dernier})/2$ au lieu de $u_0(1-q^n)/(1-q)$.
6. Dire que $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ sans vérifier qu’on a bien la condition utilisée dans le cours (produit).
7. Penser que $e^x$ tend vers 0 quand $x\to+\infty$ au lieu de $+\infty$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir passer d’une forme à l’autre et donner $f(x)=ax^2+bx+c$ comme forme développée, $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ comme forme canonique, et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ comme forme factorisée.
2. Calculer $\Delta=b^2-4ac$, puis résoudre $ax^2+bx+c=0$ avec $x=(−b\pm\sqrt{\Delta})/(2a)$.
3. Déterminer le sommet avec $\alpha=−b/(2a)$ et $\beta=−\Delta/(4a)$ pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
4. Décrire le signe de $f(x)$ selon le signe de $a$ et la position par rapport aux racines (extérieur vs entre).
5. Maîtriser les dérivées usuelles clés: $(x^n)'$, $(1/x)'$, $(\sqrt{x})'$, $(e^x)'$, $(\cos x)'$ et $(\sin x)'.$
6. Appliquer correctement les formules: dérivée de somme $u+v$, différence $u-v$, produit $uv'$, quotient $(u/v)'.$
7. Écrire l’équation de la tangente en $a$ sous la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ et identifier la pente $m=f'(a)$.
8. Calculer un taux de variation $[f(b)-f(a)]/(b-a)$ et relier $f'(x)$ au sens des variations (croissante/décroissante).
9. Utiliser les formules d’une suite arithmétique: $u_{n+1}=u_n+r$, $u_n=u_0+nr$, et sa somme $S=n(\text{premier}+\text{dernier})/2$.
10. Utiliser les formules d’une suite géométrique: $u_{n+1}=qu_n$, $u_n=u_0q^n$, et sa somme $S=u_0(1-q^n)/(1-q)$.
11. Savoir appliquer les identités trigonométriques: $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)$ et les formules de somme d’angles pour $\cos(a\pm b)$ et $\sin(a\pm b)$.
12. Retrouver les valeurs du tableau pour $0,\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2$ et lire des coordonnées sur le cercle trigonométrique (exemples inclus dans le cours).
13. Calculer un vecteur $\overrightarrow{AB}$ et sa norme, vérifier l’égalité de vecteurs par $x=x'$ et $y=y'$, et tester la colinéarité via $xu'y−yx'=0$ ou $x/x'=y/y'$.
14. Utiliser la formule de l’union $P(A\cup B)$, la conditionnelle $P(A|B)$, le complément $P(\bar A)$, et la formule du produit $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.