Lernzettel: Introduction aux Fonctions Trigonométriques et Vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique et radians
2. Coordonnées trigonométriques et valeurs remarquables
3. Symétries, périodicité et équations trigonométriques
4. Fonctions cosinus et sinus
5. Vecteurs et coordonnées
6. Norme, somme et colinéarité
7. Produit scalaire et orthogonalité
8. Angle, Al-Kashi et cercle

📖 1. Cercle trigonométrique et radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
• Radian : Le radian est l’unité naturelle des angles, définie via la longueur d’arc sur un cercle de rayon 1.
• Mesure en radians : Sur un cercle de rayon 1, la longueur d’arc est égale à la mesure de l’angle en radians.
• Orientation trigonométrique : L’orientation du cercle est choisie dans le sens inverse des aiguilles d’une montre pour associer un angle à chaque point.

📝 Points essentiels

• Sur le cercle de rayon 1, longueur d’arc = mesure de l’angle en radians.
• 0° correspond à 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π pour 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.
• Conversion degrés → radians : x° = 180xπ.
• Conversion radians → degrés : x = (180x)/π.
• Chaque point M associé à l’angle θ est défini à partir de cette mesure d’angle.

💡 Astuce mémo

Radian = longueur d’arc sur rayon 1 : “arc mesure l’angle”.

📖 2. Coordonnées trigonométriques et valeurs remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées trigonométriques : Pour un point M associé à l’angle θ, les coordonnées sont (cosθ ; sinθ).
• Cosinus abscisse : Le cosinus donne l’abscisse du point sur le cercle trigonométrique.
• Sinus ordonnée : Le sinus donne l’ordonnée du point sur le cercle trigonométrique.
• Valeurs remarquables : Les valeurs remarquables relient certains angles aux valeurs exactes de cos et sin à connaître par cœur.

📝 Points essentiels

• Si M est associé à l’angle θ, alors M(cosθ ; sinθ).
• cos(0)=1 et sin(0)=0.
• cos(π/2)=0 et sin(π/2)=1.
• Pour π/6 : cos(π/6)=√3/2 et sin(π/6)=1/2.
• Pour π/4 : cos(π/4)=√2/2 et sin(π/4)=√2/2.
• Pour π/3 : cos(π/3)=1/2 et sin(π/3)=√3/2.

💡 Astuce mémo

Sur le cercle : cos = horizontal (abscisse), sin = vertical (ordonnée).

📖 3. Symétries, périodicité et équations trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Opposé : L’angle opposé correspond à -x, ce qui modifie différemment cos et sin.
• Angle supplémentaire : L’angle supplémentaire transforme x en π−x et impose des signes spécifiques à cos et sin.
• Périodicité : Les fonctions trigonométriques se répètent avec une période de 2π sur le cercle.
• Équation cosx=cosa : Une équation du type cosx=cosa se résout avec des solutions périodiques en 2π.
• Équation sinx=sina : Une équation du type sinx=sina se résout aussi avec des solutions périodiques en 2π.

📝 Points essentiels

• cos(−x)=cos(x) et sin(−x)=−sin(x).
• cos(π−x)=−cos(x) et sin(π−x)=sin(x).
• cos(π+x)=−cos(x) et sin(π+x)=−sin(x).
• cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x).
• Si cosx=cosa, alors x=a+2kπ ou x=−a+2kπ avec k∈Z.
• Si sinx=sina, alors x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ avec k∈Z.

💡 Astuce mémo

Cos garde le même signe avec −x ; sin change de signe avec −x.

📖 4. Fonctions cosinus et sinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cosinus : La fonction cosinus associe à tout réel x la valeur cosx.
• Image du cosinus : L’ensemble des valeurs prises par cosx est l’intervalle [-1 ; 1].
• Période du cosinus : La fonction cosinus se répète après une variation de 2π.
• Fonction sinus : La fonction sinus associe à tout réel x la valeur sinx.
• Image du sinus : L’ensemble des valeurs prises par sinx est l’intervalle [-1 ; 1].

📝 Points essentiels

• f(x)=cosx a pour domaine R et pour image [-1 ; 1].
• La période de cosx est 2π.
• Sur [0 ; π], cosx décroît de 1 à -1.
• Sur [π ; 2π], cosx croît de -1 à 1.
• f(x)=sinx a pour domaine R et pour image [-1 ; 1].
• La période de sinx est 2π.

💡 Astuce mémo

Cos : décroît sur [0;π] ; Sin : pousse vers + puis redescend sur la portion indiquée.

📖 5. Vecteurs et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Un vecteur possède une direction, un sens et une norme (sa longueur).
• Notations AB : Le vecteur AB est noté AB pour représenter le déplacement de A vers B.
• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur se déterminent à partir des coordonnées de ses extrémités.
• Vecteur (x ; y) : Un vecteur u peut s’écrire u=(x ; y) pour travailler par composantes.

📝 Points essentiels

• Un vecteur possède une direction, un sens et une norme (longueur).
• Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors AB=(xB−xA ; yB−yA).
• Exemple : A(2 ; 1) et B(7 ; 5) donnent AB=(5 ; 4).
• Si u=(x ; y), alors on peut calculer sa norme avec la formule associée au chapitre suivant.

💡 Astuce mémo

AB = B moins A : on soustrait les abscisses puis les ordonnées.

📖 6. Norme, somme et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur est sa longueur, calculée à partir de ses composantes.
• Somme de vecteurs : La somme de deux vecteurs se fait composante par composante.
• Multiplication par un réel : Multiplier un vecteur par un réel multiplie chaque composante par ce réel.
• Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction.

📝 Points essentiels

• Si u=(x ; y), alors ||u||=√(x²+y²).
• Exemple : u=(3 ; 4) donne ||u||=5.
• Si u=(x1 ; y1) et v=(x2 ; y2), alors u+v=(x1+x2 ; y1+y2).
• Pour k réel, ku=(kx ; ky).
• Deux vecteurs u(x1 ; y1) et v(x2 ; y2) sont colinéaires si x1y2−x2y1=0.
• A, B, C alignés équivaut à ce que AB et AC soient colinéaires.

💡 Astuce mémo

Colinéaire : déterminant des composantes nul → x1y2−x2y1=0.

📖 7. Produit scalaire et orthogonalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire relie deux vecteurs à un angle via une formule utilisant leurs normes.
• Interprétation géométrique : Le signe du produit scalaire renseigne sur le type d’angle entre les deux vecteurs.
• Produit scalaire en coordonnées : Le produit scalaire se calcule aussi directement par multiplication et addition des composantes.
• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux lorsqu’ils forment un angle droit, caractérisé par un produit scalaire nul.

📝 Points essentiels

• Pour des vecteurs u et v formant l’angle θ, u·v=||u||·||v||·cos(θ).
• Le produit scalaire est positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit et négatif pour un angle obtus.
• Si u=(x1 ; y1) et v=(x2 ; y2), alors u·v=x1x2+y1y2.
• Deux vecteurs sont perpendiculaires si u·v=0.
• Pour obtenir cos(θ) : cos(θ)= (||u||·||v||)/ (u·v).

💡 Astuce mémo

u·v : signe = type d’angle ; et u·v=0 ⇔ angle droit.

📖 8. Angle, Al-Kashi et cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul d’un angle : Le calcul d’un angle à partir du produit scalaire utilise une formule de cosinus puis une fonction arccos.
• Formule d’Al-Kashi : La formule d’Al-Kashi relie les longueurs des côtés d’un triangle à l’angle entre deux côtés via un cosinus.
• Équation d’un cercle : Une équation de cercle s’écrit avec le carré des distances à un centre et un rayon.
• Cercle de centre O(a ; b) : Le centre d’un cercle est représenté par les coordonnées O(a ; b) dans l’équation standard.

📝 Points essentiels

• À partir de u·v=||u||||v||cos(θ), on obtient cos(θ)= (||u||·||v||)/(u·v).
• Puis θ=arccos((||u||||v||)/(u·v)).
• Formule d’Al-Kashi dans ABC : BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos(BAC).
• Équation d’un cercle de centre O(a ; b) et de rayon R : (x−a)²+(y−b)²=R².

💡 Astuce mémo

Al-Kashi = Pythagore “corrigé” par le terme en cos : BC² = AB² + AC² − 2AB·AC·cos(BAC).

📊 Tableaux de synthèse

Valeurs remarquables

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’abscisse et l’ordonnée : cos donne l’abscisse et sin donne l’ordonnée sur le cercle.
2. Se tromper de signe avec les symétries : cos(−x)=cos(x) mais sin(−x)=−sin(x).
3. Oublier la période : cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x).
4. Mélanger les solutions des équations cosx=cosa et sinx=sina (un cas implique ±a, l’autre implique π−a).
5. Calculer mal une différence de vecteurs : AB=(xB−xA ; yB−yA) et non (xA−xB ; yA−yB).
6. Utiliser une fausse norme : ||u||=√(x²+y²) (pas x+y).
7. Raisonner sur l’orthogonalité avec le mauvais critère : u·v=0 ⇔ perpendiculaires.

✅ Checklist Examen

1. Définir le cercle trigonométrique (centre O, rayon 1) et son orientation.
2. Passer des degrés aux radians et inversement avec les formules x°=180xπ et x=(180x)/π.
3. Donner les coordonnées d’un point M associé à un angle θ : M(cosθ ; sinθ).
4. Mémoriser les valeurs de cos et sin pour 0, π/6, π/4, π/3, π/2.
5. Appliquer les symétries : cos(−x), sin(−x), cos(π−x), sin(π−x), cos(π+x), sin(π+x).
6. Utiliser la périodicité 2π pour écrire des expressions trigonométriques équivalentes.
7. Résoudre correctement cosx=cosa en écrivant x=a+2kπ ou x=−a+2kπ avec k∈Z.
8. Résoudre correctement sinx=sina en écrivant x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ avec k∈Z.
9. Écrire les définitions et propriétés des fonctions cosx et sinx : domaine R, image [-1 ; 1], période 2π, variations indiquées.
10. Calculer AB à partir de A(xA ; yA) et B(xB ; yB).
11. Calculer la norme d’un vecteur u=(x ; y) avec √(x²+y²).
12. Effectuer somme de vecteurs et multiplication par un réel par composantes.
13. Vérifier la colinéarité avec x1y2−x2y1=0 et relier cela à l’alignement de points.
14. Calculer un produit scalaire en coordonnées x1x2+y1y2 et l’interpréter via le signe.