Quiz: Introduction aux Fonctions Trigonométriques et Vecteurs — 16 questions

1. Quelle est la définition correcte du cercle trigonométrique ?

A. Un cercle de centre O, de rayon variable, orienté librement

B. Un cercle de centre quelconque, de rayon 2, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

C. Un cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens des aiguilles d’une montre

D. Un cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Answer: (D)

Explanation

Le cercle trigonométrique est bien le cercle de centre O et de rayon 1, avec une orientation positive dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Les autres propositions changent le sens, le rayon ou le centre.

2. Sur un cercle de rayon 1, que représente la longueur de l’arc intercepté par un angle mesuré en radians ?

A. Le sinus de l’angle

B. La valeur de l’angle en degrés

C. Le double de la valeur de l’angle

D. La valeur de l’angle en radians

Answer: (D)

Explanation

Sur le cercle unité, la longueur de l’arc est égale à la mesure de l’angle en radians. C’est précisément ce qui fait du radian une unité naturelle.

3. Si un point M est associé à l’angle θ sur le cercle trigonométrique, quelles sont ses coordonnées ?

A. (cosθ ; sinθ)

B. (1 ; θ)

C. (θ ; 1)

D. (sinθ ; cosθ)

Answer: (A)

Explanation

Les coordonnées trigonométriques d’un point du cercle sont M(cosθ ; sinθ). Le cosinus donne l’abscisse et le sinus l’ordonnée.

4. Quelles sont les valeurs de cos(π/3) et sin(π/3) ?

A. 1/2 et √3/2

B. 0 et 1

C. √3/2 et 1/2

D. √2/2 et √2/2

Answer: (A)

Explanation

Pour π/3, on a cos(π/3)=1/2 et sin(π/3)=√3/2. La paire √3/2 ; 1/2 correspond à π/6, pas à π/3.

5. Que vaut sin(−x) ?

A. −cos(x)

B. sin(x)

C. −sin(x)

D. cos(x)

Answer: (C)

Explanation

Le sinus est une fonction impaire, donc sin(−x)=−sin(x). À l’inverse, le cosinus vérifie cos(−x)=cos(x).

6. Quelles sont les solutions de l’équation sinx = sina ?

A. x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, avec k∈Z

B. x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, avec k∈Z

C. x = a + kπ, avec k∈Z

D. x = −a + 2kπ uniquement

Answer: (B)

Explanation

Pour sinx=sina, les solutions sont x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ, avec k entier. La forme x=−a+2kπ est celle de l’équation cosx=cosa.

7. Quel est l’ensemble des valeurs prises par la fonction cosinus ?

A. [0 ; 1]

B. [−π ; π]

C. ]−∞ ; +∞[

D. [-1 ; 1]

Answer: (D)

Explanation

La fonction cosinus prend uniquement des valeurs comprises entre −1 et 1. Son image est donc l’intervalle [-1 ; 1].

8. Sur quel intervalle la fonction cosinus décroît-elle de 1 à −1 ?

A. Sur [π ; 2π]

B. Sur [0 ; π]

C. Sur [0 ; 2π]

D. Sur [−π ; 0]

Answer: (B)

Explanation

Sur l’intervalle [0 ; π], cosx décroît de 1 à −1. Ensuite, sur [π ; 2π], elle croît de −1 à 1.

9. Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), quelle est l’expression du vecteur AB ?

A. (xA−xB ; yA−yB)

B. (xA+xB ; yA+yB)

C. (xB−xA ; yA−yB)

D. (xB−xA ; yB−yA)

Answer: (D)

Explanation

Les coordonnées de AB s’obtiennent en faisant B moins A, c’est-à-dire (xB−xA ; yB−yA). C’est une erreur classique d’inverser l’ordre de soustraction.

10. Quelle propriété décrit correctement deux vecteurs colinéaires ?

A. Ils ont la même norme

B. Ils sont perpendiculaires

C. Ils ont forcément les mêmes coordonnées

D. Ils ont la même direction

Answer: (D)

Explanation

Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction. Leur norme peut être différente, et ils ne sont pas forcément perpendiculaires.

11. Quelle formule donne la norme d’un vecteur u=(x ; y) ?

A. √(x²+y²)

B. √(x+y)

C. x+y

D. x²+y²

Answer: (A)

Explanation

La norme d’un vecteur est sa longueur, et pour un vecteur de coordonnées (x ; y), elle se calcule par √(x²+y²). Les autres propositions confondent la norme avec une somme ou oublient la racine carrée.

12. Quels vecteurs sont colinéaires ?

A. Ceux dont les normes sont égales

B. Ceux qui forment un angle droit

C. Ceux dont la somme est le vecteur nul

D. Ceux dont le déterminant x1y2−x2y1 est nul

Answer: (D)

Explanation

Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, ce qui équivaut à un déterminant nul : x1y2−x2y1=0. L’angle droit caractérise au contraire l’orthogonalité.

13. Quel est le produit scalaire de u=(x1 ; y1) et v=(x2 ; y2) en coordonnées ?

A. x1y2−x2y1

B. x1x2+y1y2

C. x1+y1+x2+y2

D. √(x1²+y1²)·√(x2²+y2²)

Answer: (B)

Explanation

En coordonnées, le produit scalaire se calcule en multipliant les abscisses entre elles puis les ordonnées entre elles, puis en additionnant les deux résultats. La formule x1y2−x2y1 correspond à la colinéarité, pas au produit scalaire.

14. Que peut-on conclure si deux vecteurs ont un produit scalaire nul ?

A. Ils sont orthogonaux

B. Ils ont la même norme

C. Ils sont colinéaires

D. Ils forment un angle aigu

Answer: (A)

Explanation

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Un produit scalaire nul ne permet pas de conclure à la colinéarité.

15. Quelle relation d’Al-Kashi relie les côtés d’un triangle ABC à l’angle BAC ?

A. BC²=AB²+AC²+2·AB·AC·cos(BAC)

B. cos(BAC)=BC²−AB²−AC²

C. BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos(BAC)

D. BC=AB+AC−2·cos(BAC)

Answer: (C)

Explanation

La formule d’Al-Kashi s’écrit BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos(BAC). Le signe moins devant le terme en cos est essentiel.

16. Quelle équation représente un cercle de centre O(a ; b) et de rayon R ?

A. (x+a)²+(y+b)²=R

B. x²+y²=R²

C. (x−a)²+(y−b)²=R²

D. (x−a)+(y−b)=R²

Answer: (C)

Explanation

L’équation standard d’un cercle de centre O(a ; b) et de rayon R est (x−a)²+(y−b)²=R². Les autres propositions oublient le carré des distances ou décalent mal le centre.