Karteikarten: Introduction aux matrices et transformations linéaires — 20 Karten

Matrice — définition ?

Tableau rectangulaire de nombres représentant un système d’équations ou vecteurs.

Matrice diagonale — propriété ?

Seuls les éléments sur la diagonale principale sont non nuls.

Matrice identité — rôle ?

Élément neutre dans le produit matriciel.

Transposée — opération ?

Échange lignes et colonnes d’une matrice.

Déterminant 2×2 — formule ?

ad - bc pour une matrice [[a, b], [c, d]].

Déterminant 3×3 — méthode ?

Règle de Sarrus ou développement par cofacteurs.

Matrice singulière — définition ?

Determinant nul, pas d’inverse.

Produit de matrices — déterminant ?

Produit des déterminants : $ ext{det}(AB) = ext{det}(A) imes ext{det}(B)$.

Matrice inversible — condition ?

Determinant non nul.

Transformation linéaire — rôle ?

Conserve la structure vectorielle, représentée par une matrice.

Base — définition ?

Ensemble de vecteurs linéairement indépendants engendrant tout l’espace.

Dimension — signification ?

Nombre d’éléments d’une base.

Valeur propre — définition ?

Scalaire $\lambda$ tel que $A v = \lambda v$ pour un vecteur non nul.

Diagonalisation — but ?

Exprimer $A$ comme $P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale.

Transformation orthogonale — propriété ?

Préserve la norme, représentée par une matrice orthogonale.

Transformation affine — formule ?

$T(x) = Ax + b$, avec $A$ matrice et $b$ vecteur.

Inverse d’une matrice — condition ?

Existance si $ ext{det}(A) eq 0$.

Systèmes linéaires — solution unique ?

Oui si $ ext{det}(M) eq 0$.

Solution d’un système homogène — propriété ?

Solution triviale $v=0$ toujours, infinie si $ ext{det}(A)=0$.

Applications géométriques — exemples ?

Rotations, réflexions, translations, homothéties.