Lernzettel: Introduction aux nombres complexes et affixes dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Affixe d’un point du plan
2. Affixe d’un vecteur et propriétés
3. Milieu, barycentre et centres du triangle
4. Expressions réelles et imaginaires
5. Définition des nombres complexes
6. Parties réelle et imaginaire
7. Conjugué d’un nombre complexe

📖 1. Affixe d’un point du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : L’affixe est le nombre complexe associé à un point du plan, construit à partir de ses coordonnées.
• Coordonnées : Les coordonnées d’un point servent à former l’affixe en plaçant la première coordonnée en partie réelle et la seconde en partie imaginaire.

📝 Points essentiels

• À tout point $M(m,y)$ on associe l’affixe $z=m+iy$ pour identifier le point par un unique nombre complexe.
• Si $L_a$ envoie $M(a,b)$ alors l’affixe du point correspondant vérifie $z=a+ib$.
• Un point du plan correspond à une écriture de type $m+iy$ avec $m\in\mathbb R$ et $y\in\mathbb R$.

💡 Astuce mémo

Point $M(m,y)$ ⇒ $z=m+iy$ : réel = $m$, imag = $y$.

📖 2. Affixe d’un vecteur et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe d’un vecteur : L’affixe d’un vecteur est un nombre complexe déduit des affixes de son origine et de son extrémité.
• Vecteur directeur : Un vecteur peut être associé à une droite dans le repère, et son affixe encode son orientation et sa longueur relative.

📝 Points essentiels

• Pour deux points $A$ et $B$, l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vaut $z_B-z_A$.
• Si $u$ est un vecteur et $\alpha\in\mathbb R,\beta\in\mathbb R$ alors l’affixe peut s’écrire avec les coordonnées sur la base $(\vec u,\vec v)$ comme combinaison $\alpha\,u+\beta\,v$.
• Les propriétés additives sont valables : $\text{aff}(\alpha u)=\alpha\,\text{aff}(u)$ et $\text{aff}(u+v)=\text{aff}(u)+\text{aff}(v)$.

💡 Astuce mémo

Vecteur = différence d’affixes : $\overrightarrow{AB}$ ⇔ $z_B-z_A$.

📖 3. Milieu, barycentre et centres du triangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu du segment : Le milieu du segment $[AB]$ est associé à une affixe moyenne des affixes de $A$ et $B$.
• Barycentre : Le barycentre est associé à une combinaison pondérée des affixes des points, avec des coefficients réels.
• Centre de gravité : Le centre de gravité du triangle correspond à l’intersection des médianes et admet une formule moyenne des affixes.
• Orthocentre : L’orthocentre est lié à la géométrie du triangle et se caractérise par l’intersection des hauteurs.

📝 Points essentiels

• Si $I$ est le milieu de $[AB]$ alors $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
• Si $G$ est barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$ avec $\alpha+\beta+\gamma\neq 0$ alors $z_G=\dfrac{\alpha z_A+\beta z_B+\gamma z_C}{\alpha+\beta+\gamma}$.
• Le centre de gravité $G$ du triangle vérifie $z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}$ et il est l’intersection des médianes.
• L’orthocentre $H$ est l’intersection des hauteurs et correspond au point identifié par cette intersection.

💡 Astuce mémo

Milieu = moyenne à 2 termes ; barycentre = moyenne pondérée ; gravité = moyenne à 3 termes.

📖 4. Expressions réelles et imaginaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie réelle : L’écriture d’un nombre complexe sépare la partie réelle (coefficient devant $1$) de la partie imaginaire (coefficient devant $i$).
• Partie imaginaire : La partie imaginaire est la valeur portée par $i$ dans l’écriture $z=a+ib$.
• Forme $a+ib$ : La forme $a+ib$ est l’écriture d’un nombre complexe en distinguant explicitement les deux composantes réelles.

📝 Points essentiels

• Toute expression d’un complexe est ramenée à la forme imposée $z=a+ib$.
• Quand une quantité est dite « réelle », sa partie imaginaire est nulle et elle s’identifie comme un cas de la forme $a+ib$ avec $b=0$.
• Quand une quantité est dite « purement imaginaire », sa partie réelle est nulle et elle s’identifie comme un cas de la forme $a+ib$ avec $a=0$.

💡 Astuce mémo

Réel ⇔ coefficient de $i$ vaut $0$ ; Imaginaire pur ⇔ coefficient réel vaut $0$.

📖 5. Définition des nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des nombres complexes : L’ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb C$ (ou $\mathbb C$), contient les réels et les nombres ayant une partie imaginaire.
• Nombre imaginaire : Le nombre imaginaire $i$ vérifie la relation $i^2=-1$ et sert à construire les complexes.
• Écriture algébrique : L’écriture algébrique ou cartésienne d’un complexe est $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.
• Partie réelle et partie imaginaire : Dans $z=a+ib$, $a$ est la partie réelle notée $\mathrm{Re}(z)$ et $b$ est la partie imaginaire notée $\mathrm{Im}(z)$.

📝 Points essentiels

• Les réels sont inclus dans les complexes : $\mathbb R\subset\mathbb C$.
• Un complexe s’écrit sous la forme $z=a+ib$ (ou cartésienne) avec $a\in\mathbb R$ et $b\in\mathbb R$.
• Le nombre imaginaire $i$ vérifie $i^2=-1$.
• Pour $z=a+ib$, la partie réelle est $\mathrm{Re}(z)=a$ et la partie imaginaire est $\mathrm{Im}(z)=b$.

💡 Astuce mémo

$z=a+ib$ : $a$ au sol (réel), $b$ sur $i$ (imaginaire).

📖 6. Parties réelle et imaginaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Re(z) : $\mathrm{Re}(z)$ désigne la partie réelle, c’est le coefficient $a$ dans l’écriture $z=a+ib$.
• Im(z) : $\mathrm{Im}(z)$ désigne la partie imaginaire, c’est le coefficient $b$ dans l’écriture $z=a+ib$.
• Complexe réel : Un complexe réel est un complexe dont la partie imaginaire vaut $0$.

📝 Points essentiels

• Si $z=a+ib$ alors $z+z=2a$ et $z-z=2ib$, ce qui permet d’extraire respectivement la partie réelle et la partie imaginaire.
• On a $z\,\overline z=a^2+b^2$ et le résultat est réel.
• Exemple : pour $z_1=8+3i$, on a $\mathrm{Re}(z_1)=8$ et $\mathrm{Im}(z_1)=3$.
• Exemple : pour $z_2=7-4i$, on a $\mathrm{Re}(z_2)=7$ et $\mathrm{Im}(z_2)=-4$.

💡 Astuce mémo

Somme : $z+\overline z=2\mathrm{Re}(z)$ ; différence : $z-\overline z=2i\mathrm{Im}(z)$.

📖 7. Conjugué d’un nombre complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le conjugué d’un complexe $z=a+ib$ est le complexe obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire.
• Conjugué de $z$ : Le conjugué de $z$ noté $\overline z$ vérifie $\overline z=a-ib$.
• Complexe réel et conjugué : Si un complexe est réel alors il est égal à son conjugué.

📝 Points essentiels

• Pour $z=a+ib$, le conjugué est $\overline z=a-ib$.
• Si $z_0\in\mathbb R$ alors $\overline{z_0}=z_0$.
• Si $z_0\in i\mathbb R$ alors $\overline{z_0}=-z_0$.
• On a $\overline{\overline z}=z$, et les règles de calcul donnent notamment $\overline{z+w}=\overline z+\overline w$ et $\overline{zw}=\overline z\,\overline w$.

💡 Astuce mémo

Conjugué = miroir sur l’axe des réels : $a+ib\mapsto a-ib$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la construction du point avec l’affixe : le point $M(m,y)$ donne $z=m+iy$ et non $z=y+im$.
2. Oublier que l’affixe du milieu est la moyenne $(z_A+z_B)/2$ et non la moyenne des coordonnées sans lien avec $i$.
3. Mélanger les formules barycentre/gravité : le centre de gravité du triangle donne exactement $z_G=(z_A+z_B+z_C)/3$.
4. Croire que $\mathrm{Re}(z)$ correspond au coefficient de $i$ : dans $z=a+ib$, $\mathrm{Re}(z)=a$ et $\mathrm{Im}(z)=b$.
5. Se tromper sur le signe du conjugué : $\overline{a+ib}=a-ib$ (le signe de $b$ change).
6. Calculer $z+z$ au lieu de $z+\overline z$ quand on cherche la partie réelle, car le résultat attendu $2a$ nécessite le conjugué.
7. Penser que le produit $z\,\overline z$ peut être imaginaire : il vaut $a^2+b^2$ donc il est réel.

✅ Checklist Examen

1. Savoir associer à $M(m,y)$ l’affixe $z=m+iy$ et inversement identifier $m$ et $y$ dans $z=a+ib$.
2. Savoir exprimer l’affixe de $\overrightarrow{AB}$ comme $z_B-z_A$.
3. Savoir utiliser $\text{aff}(\alpha u)=\alpha\,\text{aff}(u)$ et $\text{aff}(u+v)=\text{aff}(u)+\text{aff}(v)$.
4. Savoir écrire l’affixe du milieu $I$ : $z_I=(z_A+z_B)/2$.
5. Savoir calculer l’affixe d’un barycentre $G$ avec coefficients $\alpha,\beta,\gamma$ via la formule pondérée correspondante.
6. Savoir donner la formule du centre de gravité : $z_G=(z_A+z_B+z_C)/3$ et relier $G$ à l’intersection des médianes.
7. Savoir relier l’orthocentre $H$ à l’intersection des hauteurs du triangle $ABC$.
8. Savoir définir $\mathbb C$, rappeler que $\mathbb R\subset\mathbb C$ et que $i^2=-1$.
9. Savoir reconnaître $\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(z)$ à partir de $z=a+ib$.
10. Savoir utiliser les identités $z+\overline z=2a$, $z-\overline z=2ib$ et $z\overline z=a^2+b^2$.
11. Savoir calculer le conjugué $\overline z=a-ib$ et l’appliquer aux cas $z\in\mathbb R$ et $z\in i\mathbb R$.