Lernzettel: Introduction aux Nombres et Géométrie de Base

📋 Plan du Cours

1. Nombres entiers et décimaux
2. Fractions et fractions décimales
3. Nombres relatifs et opérations
4. Fractions algébriques et calcul littéral
5. Fonctions et pourcentages
6. Géométrie de base et cercle

📖 1. Nombres entiers et décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers naturels sont les nombres qui servent à compter des objets à partir de 0.
• Notation positionnelle : La notation positionnelle fait que chaque chiffre vaut selon sa position dans le nombre, avec des puissances de 10 correspondantes.
• Fractions décimales : Les fractions décimales sont des fractions dont le dénominateur vaut 10, 100, 1 000, 10 000, etc., et s’écrivent avec des chiffres après la virgule.

📝 Points essentiels

• Sur une demi-droite graduée, 0 est l’origine, l’unité donne le pas, et l’abscisse est la position lue dans le sens de lecture.
• Dans un nombre entier, le chiffre des unités correspond à ×1, celui des dizaines à ×10, celui des centaines à ×100, et ainsi de suite.
• Un nombre comme 3,142 a une partie entière égale à 3 et une partie décimale égale à 142/1 000.
• Pour multiplier deux nombres décimaux, on multiplie les entiers obtenus sans virgule puis on place la virgule pour avoir autant de chiffres après la virgule que la somme des chiffres après la virgule des deux facteurs.

💡 Astuce mémo

Positionnel = poids des chiffres = 10, 100, 1 000… : chaque cran à gauche multiplie par 10.

📖 2. Fractions et fractions décimales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Une fraction désigne un nombre obtenu avec un numérateur et un dénominateur, où le dénominateur indique en combien de parts égales on partage l’unité et le numérateur la part prise.
• Dixième : Un dixième est une fraction décimale qui correspond à 1 part sur 10 dans une unité, soit une écriture du type 1/10.
• Centième : Un centième est une fraction décimale qui correspond à 1 part sur 100 dans une unité, soit une écriture du type 1/100.

📝 Points essentiels

• Sur une droite graduée, une fraction peut représenter un nombre et peut s’écrire comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.
• Dans une unité, il y a 10 dixièmes et, dans un dixième, il y a 10 centièmes; dans une unité, il y a 100 centièmes.
• Pour un nombre comme 3,142, la partie entière vaut 3 et la partie décimale vaut 142/1 000.
• Le produit 3,163 × 0,7 se calcule en ignorant d’abord la virgule puis en gardant autant de chiffres après la virgule que la somme des chiffres après la virgule des deux facteurs.

💡 Astuce mémo

1 unité = 10 dixièmes = 100 centièmes : on divise par 10 à chaque passage de rang.

📖 3. Nombres relatifs et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres inverses : Deux nombres non nuls sont inverses multiplicatifs l’un de l’autre quand leur produit vaut 1.
• Inverse d’un nombre : L’inverse d’un nombre a non nul est le nombre qui, multiplié par a, donne 1.
• Écriture scientifique : Une écriture scientifique met un décimal sous la forme ±a×10^n avec 1≤|a|<10 et n entier relatif.

📝 Points essentiels

• Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
• Pour des nombres non nuls a, b, c, d, on a a/b ÷ c/d = (a/b) × (d/c).
• Pour n entier ≥2, on définit a^n comme le produit de n facteurs égaux à a.
• Pour tout entier n≥1, 10^(−n) est l’inverse de 10^n et 10^(−n)=1/10^n.

💡 Astuce mémo

Inverse : penser « ÷ devient × par le miroir », car a×(1/a)=1.

📖 4. Fractions algébriques et calcul littéral

🔑 Notions clés & Définitions

• Programme de calcul : Un programme de calcul décrit une suite d’étapes qui associe à une valeur de départ un résultat final.
• Expression littérale : Une expression littérale est une écriture de calcul utilisant des lettres pour représenter des nombres.
• Formule de tableur : Une formule de tableur est une instruction de calcul saisie dans une cellule pour produire un résultat à partir d’autres cellules.

📝 Points essentiels

• Dans un tableur, une formule commence par le symbole = puis utilise les coordonnées des cellules comme B1.
• Les opérations s’écrivent avec + et − pour l’addition et la soustraction, * pour la multiplication, et des parenthèses ( ) pour regrouper les calculs.
• Une fonction décrite par un programme de calcul peut s’écrire ensuite sous forme d’expression littérale en développant ou en remplaçant les étapes par des calculs algébriques.

📖 5. Fonctions et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Un pourcentage exprime une proportion sur 100, par exemple 50% correspond à 50 sur 100.
• Fonction : Une fonction associe à chaque valeur d’entrée x une valeur de sortie notée f(x).

📝 Points essentiels

• La probabilité d’un événement se met en pourcentage, en fraction ou en écriture décimale entre 0 et 1.
• Pour un dé équilibré, la probabilité d’obtenir 4 vaut 1/6, soit environ 16,7%.
• Pour une pièce non truquée, la probabilité de faire pile vaut 50%.
• Dans un tableur, une formule s’exprime avec des coordonnées de cellules comme B1 et des opérateurs tels que +, −, ∗ et des parenthèses.

📖 6. Géométrie de base et cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle : Un cercle est l’ensemble des points dont la distance au centre est exactement égale au rayon.
• Intérieur du cercle : L’intérieur du cercle est l’ensemble des points dont la distance au centre est strictement inférieure au rayon.
• Disque : Un disque est la surface formée par l’intérieur du cercle et par le cercle, donc les points à une distance du centre inférieure ou égale au rayon.

📝 Points essentiels

• Un point est sur le cercle si sa distance au centre vaut le rayon, et il est à l’intérieur si cette distance est strictement plus petite.
• Un point est à l’extérieur du cercle si sa distance au centre est strictement supérieure au rayon.
• Sur un disque, la distance au centre est inférieure ou égale au rayon, contrairement au cercle où elle est égale au rayon.

💡 Astuce mémo

Centre → rayon : égalité = cercle ; plus petit = intérieur ; plus grand = extérieur ; ≤ = disque.

📊 Tableaux de synthèse

Relations de position pour un cercle et un disque

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la demi-droite graduée : l’abscisse se lit dans le sens de lecture à partir de l’origine 0.
2. Mélanger décimal et fraction : 3,142 a une partie entière 3 et une partie décimale 142/1 000.
3. Oublier la règle multiplication décimaux : on multiplie sans virgules puis on place la virgule avec autant de chiffres après virgule que la somme des deux longueurs.
4. Signe des nombres relatifs : pour la somme de signes différents, on soustrait les distances à zéro et le signe vient du nombre le plus éloigné de zéro.
5. Division des fractions : ÷ par un nombre non nul revient à × par son inverse.
6. Erreur de tableur : une formule commence par = et la multiplication se note * avec éventuellement des parenthèses ( ).
7. Pour cercle/disque : confondre = R (cercle) et ≤ R (disque), ou croire que “strictement” vaut aussi pour le disque.

✅ Checklist Examen

1. Décomposer un entier en C-D-U (et milliers, dizaines de milliers…) puis retrouver le rôle du chiffre des unités, dizaines, centaines…
2. Lire une abscisse sur une demi-droite graduée en utilisant l’origine 0, le pas de l’unité et le sens de lecture.
3. Passer entre une écriture décimale et une somme d’entier + fraction décimale (ex. 3,142 = 3 + 142/1 000).
4. Calculer un produit de décimaux en faisant le produit des entiers sans virgule puis en plaçant la virgule avec le bon nombre de chiffres après la virgule.
5. Reconnaître l’opposé, déterminer les signes et appliquer les règles de somme/différence de nombres relatifs.
6. Calculer un produit/quotient de nombres relatifs en appliquant la règle des signes avec “distances à zéro”.
7. Écrire une fonction en utilisant f : x → f(x), puis interpréter image/antécédent à partir d’un tableau ou d’une représentation graphique.
8. Convertir une situation en pourcentage avec les facteurs 1 + x/100 (augmentation) et 1 − x/100 (diminution), puis effectuer le calcul.
9. Traiter une formule de tableur : début par =, usage des coordonnées (ex. B1) et opérateurs +, −, *, parenthèses ( ).
10. Déterminer la position d’un point par rapport à un cercle/disque à partir de la comparaison de sa distance au centre avec R.
11. Utiliser les définitions : sur le cercle ⇔ distance = R, à l’intérieur ⇔ distance < R, et sur le disque ⇔ distance ≤ R.