Lernzettel: Introduction aux projecteurs et symétries vectorielles

📋 Plan du Cours

1. Somme directe et sous-espaces supplémentaires
2. Projecteurs vectoriels
3. Noyau, image et projecteur complémentaire
4. Symétries vectorielles
5. Formules de passage et méthodes de calcul
6. Propriétés essentielles et pièges

📖 1. Somme directe et sous-espaces supplémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Espaces supplémentaires : Deux sous-espaces F et G de E sont supplémentaires quand tout x ∈ E s’écrit de façon unique x = xF + xG avec xF ∈ F et xG ∈ G.
• Somme directe : L’égalité E = F ⊕ G exprime que E est la somme de F et G et que cette décomposition est unique.

📝 Points essentiels

• Si E = F ⊕ G, chaque vecteur x admet une décomposition unique x = xF + xG avec xF ∈ F et xG ∈ G.
• La notation E = F ⊕ G signifie implicitement la stabilité géométrique liée aux composantes sur F et sur G via cette décomposition unique.

💡 Astuce mémo

Somme directe = une seule décomposition (un seul couple (xF,xG)).

📖 2. Projecteurs vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection sur F parallèlement à G : Une projection sur F parallèlement à G envoie x = xF + xG sur xF, c’est-à-dire conserve la composante sur la base F et annule la direction G.
• Projecteur : Un projecteur est un endomorphisme qui fixe ses vecteurs de l’image et annule ceux du noyau, via une condition algébrique d’idempotence.
• Projection complémentaire : Le projecteur associé q = idE − p réalise la projection sur l’autre sous-espace, en remplaçant la composante conservée par celle qui était annulée.

📝 Points essentiels

• Un endomorphisme p est un projecteur si et seulement si p^2 = p.
• Pour un projecteur p, on a Im(p) = {x ∈ E | p(x) = x} et ker(p) = {x ∈ E | p(x) = 0}.
• On obtient la décomposition E = Im(p) ⊕ ker(p).
• Si q = idE − p, alors q est le projecteur sur ker(p) parallèlement à Im(p).
• Pour p et q définis ainsi, on a p q = q p = 0 (produit nul).

💡 Astuce mémo

Idempotence = p “reproduit” : appliquer deux fois revient à appliquer une fois (p^2=p).

📖 3. Noyau, image et projecteur complémentaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un projecteur : L’image Im(p) est l’ensemble des vecteurs fixés par p, autrement dit ceux qui restent identiques après projection.
• Noyau d’un projecteur : Le noyau ker(p) est l’ensemble des vecteurs envoyés sur 0 par p, donc les directions éliminées par la projection.
• Projecteur complémentaire : Le projecteur complémentaire q = idE − p échange le rôle des parties conservée et annulée : il projette sur l’espace complémentaire.

📝 Points essentiels

• Pour un projecteur p, ker(p − idE) coïncide avec Im(p) (vecteurs invariants).
• Pour un projecteur p, ker(p) correspond aux vecteurs annulés (direction de projection).
• Avec q = idE − p, on obtient Im(q) = ker(p) et ker(q) = Im(p), et la décomposition E = Im(q) ⊕ ker(q).

💡 Astuce mémo

p garde (Im) et p tue (ker) ; q fait l’inverse via q = idE − p.

📖 4. Symétries vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à G : Une symétrie par rapport à F parallèlement à G conserve la composante sur F et inverse la composante sur G.
• Symétrie involutive : Une symétrie est un endomorphisme tel que l’application deux fois ramène l’on à l’identité (condition involutive).
• Vecteurs invariants et inversés : Pour une symétrie s, les vecteurs invariants sont ceux fixés par s et les vecteurs inversés sont ceux envoyés sur l’opposé.

📝 Points essentiels

• Une symétrie s vérifie s^2 = idE si et seulement si c’est une symétrie vectorielle.
• Si E = F ⊕ G, alors s(xF + xG) = xF − xG.
• Pour une symétrie s, on a F = ker(s − idE) (vecteurs invariants) et G = ker(s + idE) (vecteurs inversés).
• Les espaces F et G sont obtenus directement par ces deux noyaux.

💡 Astuce mémo

Involution : s “retourne” une fois, puis “annule” le retournement deux fois (s^2=id).

📖 5. Formules de passage et méthodes de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace stable : Un sous-espace A est stable par une application g si tout vecteur de A reste dans A après application de g.
• Condition de commutation : La commutation f g = g f permet de relier l’action de f sur les images ou noyaux à celle de g.
• Expression analytique d’un projecteur : L’expression analytique d’un projecteur décrit p(X) en explicitant les coefficients du découpage x = αu1 + βu2 + γv.

📝 Points essentiels

• Si A = ker(f) et f g = g f, alors pour x ∈ ker(f) on obtient f(g(x)) = 0, donc g(x) ∈ ker(f).
• Si A = Im(f) et f g = g f, alors pour y = f(x) on a g(y) = f(g(x)), donc g(y) ∈ Im(f).
• Pour passer d’une symétrie à un projecteur, on a s = 2p − idE si et seulement si p = 1/2(s + idE).
• Dans un calcul analytique (dimension finie), on décompose X = αu1 + βu2 + γv, puis on déduit p(X) à partir de la composante sur la base (ici p(X)=αu1+βu2).

💡 Astuce mémo

Symétrie ↔ projection : s “vaut” 2p − id (donc p est la moyenne de s et de id).

📖 6. Propriétés essentielles et pièges

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeurs propres possibles : Les valeurs propres d’un projecteur sont contraintes par l’idempotence, tandis que celles d’une symétrie sont contraintes par l’involution.
• Espace invariant d’un projecteur : L’espace invariant associé à p correspond à la partie de E sur laquelle p agit comme l’identité.
• Théorème du rang : La formule dim(Im(p)) + dim(ker(p)) = dim(E relie dimensions de l’image et du noyau pour un endomorphisme.

📝 Points essentiels

• Un projecteur vérifie p^2 = p et une symétrie vérifie s^2 = idE.
• Pour un projecteur, les valeurs propres possibles sont 0 et 1, et pour une symétrie elles sont −1 et 1.
• Pour tout projecteur p, on a Im(p) = ker(p − idE) et ker(p) est la direction annulée.
• La cohérence dimensionnelle à vérifier est dim(Im(p)) + dim(ker(p)) = dim(E).
• Erreur fréquente : ne pas supposer que deux projecteurs quelconques commutent (p q = q p) sans condition supplémentaire.
• En orthogonalité/annulation, la relation p q = 0 intervient pour le complémentaire q = idE − p, mais ce n’est pas vrai pour n’importe quels projecteurs pris au hasard.

💡 Astuce mémo

Projecteur : valeurs 0/1 ; Symétrie : valeurs −1/1 ; Même logique, deux équations différentes (p^2=p vs s^2=id).

📊 Tableaux de synthèse

Projecteur vs symétrie

Objet	Propriété	Valeurs propres
Projecteur p	p^2=p	0 et 1
Symétrie s	s^2=idE	−1 et 1

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la condition algébrique : un projecteur vérifie p^2=p alors qu’une symétrie vérifie s^2=idE.
2. Prendre l’espace de “base” d’une projection pour le noyau : dans une projection, l’espace conservé est Im(p) et la direction annulée est ker(p).
3. Inverser les formules sur les noyaux d’une symétrie : invariants = ker(s−idE) et inversés = ker(s+idE).
4. Croire que des projecteurs quelconques commutent : p q = q p est faux en général sans hypothèses.
5. Oublier la cohérence dimensionnelle : un résultat calculé pour p doit respecter dim(Im(p)) + dim(ker(p)) = dim(E).
6. Confondre projecteur complémentaire et autre endomorphisme : pour q = idE − p, c’est bien le projecteur associé à la décomposition complémentaire.
7. Prendre la relation s = 2p − idE comme un lien à sens unique : l’équivalence inverse p = 1/2(s + idE) doit aussi être vraie.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître qu’un endomorphisme p est un projecteur en vérifiant p^2=p.
2. Pouvoir donner Im(p) et ker(p) à partir des équations p(x)=x et p(x)=0.
3. Savoir écrire la décomposition E = Im(p) ⊕ ker(p) pour un projecteur p.
4. Donner le projecteur complémentaire q associé à p sous la forme q = idE − p et préciser son rôle géométrique.
5. Savoir reconnaître qu’un endomorphisme s est une symétrie vectorielle en vérifiant s^2=idE.
6. Savoir calculer les espaces F et G invariants/inversés d’une symétrie via ker(s−idE) et ker(s+idE).
7. Maîtriser la passerelle s = 2p − idE ⇔ p = 1/2(s + idE).
8. Savoir appliquer la stabilité d’un sous-espace par commutation f g = g f pour ker(f) et pour Im(f).
9. Être capable de mettre en place une décomposition X = αu1 + βu2 + γv et d’extraire p(X) comme composante sur la base de projection.
10. Vérifier à la fin d’un calcul que dim(Im(p)) + dim(ker(p)) = dim(E).
11. Repérer et éviter l’erreur de supposer la commutation de projecteurs quelconques sans condition.
12. Utiliser correctement la cohérence des produits pour le couple (p, idE−p) en lien avec l’annulation p q et q p.