L’écart entre deux termes consécutifs est constant
Erklärung
Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même quantité r d’un terme au suivant. C’est donc la différence u_{n+1}-u_n qui reste constante.
-2
Erklärung
La raison d’une suite arithmétique est l’écart u_{n+1}-u_n. Ici, on soustrait 2 à chaque étape, donc r=-2.
u_n=u_0+n r
Erklärung
Pour une suite arithmétique, le terme général s’écrit u_n=u_0+n r. Cette écriture permet de calculer directement n’importe quel terme sans passer par les précédents.
f(x)=5+2x
Erklärung
Une suite arithmétique s’obtient en échantillonnant une fonction affine sur les entiers. Ici, u_n=5+2n correspond à f(x)=5+2x.
Elle est croissante
Erklärung
Pour une suite arithmétique, le signe de la raison détermine le sens de variation. Si r>0, les termes augmentent donc la suite est croissante.
Elle est constante
Erklärung
Si r=0, on ajoute zéro à chaque étape, donc tous les termes sont égaux. La suite est alors constante.
+∞
Erklärung
Une suite arithmétique de raison non nulle diverge. Si r>0, les termes grandissent sans borne et la limite est +∞.
u_0
Erklärung
Quand r=0, la suite est constante : tous les termes valent u_0. Elle converge donc vers u_0.
(u_p+u_n)(n-p+1)/2
Erklärung
Pour une suite arithmétique, la somme vaut la moyenne des deux extrêmes multipliée par le nombre de termes. On obtient donc (u_p+u_n)(n-p+1)/2.
n(n+1)/2
Erklärung
Cette somme est celle des n premiers entiers et sa formule est n(n+1)/2. Elle s’obtient aussi par la formule des sommes arithmétiques.
Le quotient de un+1 par un est constant et vaut q
Erklärung
Une suite géométrique vérifie un+1 = un×q, donc le rapport un+1/un est constant lorsque un n’est pas nul. La différence constante correspond au contraire à une suite arithmétique.
un = u0 × qn
Erklärung
Le terme général d’une suite géométrique s’écrit un = u0×q^n. Cette écriture traduit le fait que chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par q.
Elle est décroissante
Erklärung
Quand la raison est comprise entre 0 et 1, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre inférieur à 1, donc la suite décroît. Le cas non monotone correspond plutôt à q < 0.
Elle n’est pas monotone
Erklärung
Si q est négatif, les termes changent de signe d’un rang à l’autre, donc la suite n’est ni toujours croissante ni toujours décroissante. Elle est donc non monotone.
0
Erklärung
Pour une base strictement comprise entre −1 et 1, les puissances q^n tendent vers 0 quand n tend vers +∞. C’est un cas classique de convergence géométrique.
u_p(1−q^{n-p+1})/(1−q)
Erklärung
Pour q ≠ 1, la somme géométrique s’écrit u_p(1−q^{n-p+1})/(1−q). La formule avec la moyenne des extrêmes est celle des suites arithmétiques, pas géométriques.
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Suite arithmétique — définition ?
Suite où la différence entre termes consécutifs est constante.
Raison r — rôle ?
Écart constant entre termes successifs.
Variation arithmétique — signe de r ?
Croissante si r≥0, décroissante si r≤0.
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