Lernzettel: Introduction aux suites géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition des suites géométriques
2. Exemples et représentation graphique
3. Évolution exponentielle et pourcentages
4. Sens de variation d’une suite géométrique
5. Terme général d’une suite géométrique

📖 1. Définition des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• suite géométrique : Une suite géométrique est une suite dont on passe d’un terme au suivant en multipliant par un même nombre réel constant.
• raison q : La raison q est le multiplicateur constant qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.
• relation de récurrence : La relation de récurrence d’une suite géométrique relie deux termes consécutifs par un produit avec q.

📝 Points essentiels

• Une suite géométrique vérifie q constant et strictement positif pour passer de u_n à u_{n+1} par multiplication.
• Pour une suite géométrique, la relation de récurrence s’écrit u_{n+1}=u_n×q.
• La propriété de définition utilise l’idée que la variation relative des termes consécutifs reste constante.

💡 Astuce mémo

Penser “même multiplicateur” : u_{n+1} = u_n × q.

📖 2. Exemples et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• tableau de valeurs : Un tableau de valeurs liste les couples (n ; u_n) pour quelques indices afin de visualiser l’évolution de la suite.
• premier terme u₀ : Le premier terme u₀ est la valeur de la suite pour l’indice 0, utilisée pour démarrer le calcul.
• représentation (n ; uₙ) : La représentation graphique associe à chaque indice n la valeur u_n dans un repère pour observer la tendance.

📝 Points essentiels

• Pour u₀=1 et q=2, on obtient u₁=2, u₂=4, u₃=8 et la suite commence par 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
• Pour v₀=4000 et q=0,5, la suite commence par 4000, 2000, 1000, 500, 250, 125, 62,5, 31,25.
• La représentation consiste à placer les points de coordonnées (n ; u_n) dans un repère, comme pour u et v.

💡 Astuce mémo

Deux exemples “au démarrage” : ×2 double, ×0,5 divise par 2.

📖 3. Évolution exponentielle et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• croissance exponentielle discrète : Une évolution exponentielle discrète décrit une grandeur qui change par multiplications successives à intervalles réguliers.
• augmentation de p % : Une augmentation de p % correspond à un nouveau niveau obtenu par multiplication par un facteur dépendant de p.
• diminution de p % : Une diminution de p % correspond à un nouveau niveau obtenu par multiplication par un facteur inférieur à 1.

📝 Points essentiels

• Modéliser une situation à pourcentage d’évolution revient à utiliser une suite géométrique à raison constante.
• Augmenter de p % revient à multiplier par (1+p/100).
• Diminuer de p % revient à multiplier par (1-p/100).

💡 Astuce mémo

Facteur de pourcentage : +p → (1+p/100) et −p → (1−p/100).

📖 4. Sens de variation d’une suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• suite décroissante : Une suite décroissante est une suite dont les termes deviennent plus petits au fil de n.
• suite constante : Une suite constante est une suite dont tous les termes ont la même valeur.
• suite croissante : Une suite croissante est une suite dont les termes deviennent plus grands au fil de n.

📝 Points essentiels

• Avec u₀>0 et q>0, si 0<q<1 alors la suite géométrique est décroissante.
• Avec u₀>0 et q>0, si q=1 alors la suite géométrique est constante.
• Avec u₀>0 et q>0, si q>1 alors la suite géométrique est croissante.

💡 Astuce mémo

q<1 descend, q=1 plat, q>1 monte.

📖 5. Terme général d’une suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• terme général : Le terme général donne u_n directement en fonction du premier terme et de la raison sans calculer tous les termes précédents.
• premier terme u₁ : Le premier terme u₁ est la valeur de la suite pour l’indice 1, utile quand on démarre la formule à partir de n≥1.

📝 Points essentiels

• Si u₀>0 et q>0, alors pour tout n on a u_n=u₀×q^n.
• Si u₁>0 et q>0, alors pour tout n≥1 on a u_n=u₁×q^{n-1}.
• Avec u₀=250 et q=0,8, on obtient u_n=250×0,8^n pour tout n.
• Avec v₁=1 et q=2, on obtient v_n=2^{n-1} pour tout n≥1.

💡 Astuce mémo

Deux bases : partir de u₀ donne q^n ; partir de u₁ donne q^{n−1}.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la raison q avec l’indice n : q reste constant, alors que n change d’un terme à l’autre.
2. Penser que la raison peut être négative : ici q est strictement positif dans la définition.
3. Se tromper sur le signe dans les pourcentages : +p utilise (1+p/100) et −p utilise (1−p/100).
4. Prendre le mauvais critère pour le sens : c’est la valeur de q (entre 0 et 1, égal à 1, ou supérieur à 1) qui détermine décroissance, constance ou croissance.
5. Utiliser la mauvaise formule du terme général : u₀×q^n s’emploie pour une base u₀, tandis que u₁×q^{n−1} s’emploie pour une base u₁ avec n≥1.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une suite géométrique avec une raison q constante et strictement positive.
2. Être capable d’écrire la relation de récurrence d’une suite géométrique sous la forme u_{n+1}=u_n×q.
3. Savoir construire quelques termes à partir de u₀ et de q en appliquant successivement la multiplication par q.
4. Savoir associer chaque indice n à sa valeur u_n et reconnaître la représentation par points (n ; u_n).
5. Savoir modéliser une évolution exponentielle discrète à l’aide d’une suite géométrique.
6. Savoir transformer une augmentation de p % en multiplicateur (1+p/100).
7. Savoir transformer une diminution de p % en multiplicateur (1−p/100).
8. Savoir déterminer le sens de variation avec u₀>0 et q>0 : 0<q<1 décroissante, q=1 constante, q>1 croissante.
9. Savoir écrire le terme général à partir de u₀ : u_n=u₀×q^n pour tout n.
10. Savoir écrire le terme général à partir de u₁ : u_n=u₁×q^{n-1} pour tout n≥1.
11. Savoir utiliser un exemple numérique du cours pour retrouver u_n (comme u₀=250, q=0,8 ou v₁=1, q=2).