Lernzettel: Introduction aux systèmes et droites planaires

📋 Plan du Cours

1. Systèmes linéaires à deux inconnues
2. Systèmes équivalents et solutions
3. Équation cartésienne d’une droite
4. Équation réduite et vecteur directeur
5. Méthode de substitution
6. Pente, ordonnée et parallélisme

📖 1. Systèmes linéaires à deux inconnues

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système linéaire de deux équations à deux inconnues met en jeu x et y dans deux égalités du type ax+by=c et a'x+b'y=c' avec des coefficients réels.
• Inconnues x et y : Les inconnues d’un système sont les variables x et y à déterminer qui rendent vraies simultanément les deux équations.
• Solution du système : Une solution est un couple (x;y) qui satisfait les deux équations du système en même temps.

📝 Points essentiels

• Un système à deux équations à deux inconnues s’écrit sous la forme {ax+by=c ; a'x+b'y=c'} avec a,b,c,a',b',c' réels.
• Pour l’exemple 3x-2y=6 et -4x+5y=-1, le couple (4;3) vérifie simultanément les deux équations.
• Un système est présenté comme la recherche de couples (x;y) communs aux deux équations.

📖 2. Systèmes équivalents et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Systèmes équivalents : Des systèmes sont équivalents quand ils ont, s’ils existent, exactement les mêmes solutions.
• Multiplication d’une équation : Multiplier tous les coefficients d’une équation par un même nombre non nul ne change pas l’ensemble des solutions du système.

📝 Points essentiels

• Deux systèmes peuvent être équivalents si l’on multiplie les coefficients de l’une des équations (et sa constante) par un même facteur.
• Dans l’exemple, (5x+y=3 ; -x+2y=1) est équivalent à (10x+2y=6 ; -x+2y=1) car la première équation est multipliée par 2.
• Les systèmes équivalents ont les mêmes couples solutions quand ils existent.

📖 3. Équation cartésienne d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne d’une droite : Une droite peut s’écrire comme l’ensemble des points (x;y) vérifiant une équation ax+by+c=0 avec (a;b) différent de (0;0).
• Point d’une droite : Un point M(x;y) appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation de la droite ax+by+c=0.
• Droite et colinéarité : La caractérisation géométrique relie le vecteur MM0 et un vecteur directeur u via une condition de colinéarité.

📝 Points essentiels

• Pour une droite E donnée par ax+by+c=0 avec (a;b)≠(0;0), tout point M(x;y) de E vérifie ax+by+c=0.
• Si a≠0, le point M0(-c/a;0) appartient à E.
• Si b=0 et a≠0, l’équation se réduit à x=-c/a et la droite est parallèle à l’axe des ordonnées.

📖 4. Équation réduite et vecteur directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite : Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une forme y=mx+p, dite équation réduite.
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul porté par cette droite, c’est-à-dire tel que la direction de la droite lui corresponde.
• Vecteur directeur à partir de ax+by+c=0 : Pour ax+by+c=0, un vecteur directeur possible est u=(-b;a), non nul car (a;b)≠(0;0).

📝 Points essentiels

• Si la droite admet ax+by+c=0 avec b≠0, alors elle se met sous la forme y=mx+p avec m=-a/b et p=-c/b.
• Un vecteur directeur associé à y=mx+p est u=(1;m), et toute droite admet aussi des vecteurs directeurs colinéaires.
• Pour l’exemple -4x+2y+1=0, on obtient y=2x-0,5 et un vecteur directeur u=(1;2) dont v est colinéaire via v=-2u.

📖 5. Méthode de substitution

🔑 Notions clés & Définitions

• Substitution : La méthode de substitution consiste à isoler une inconnue dans une équation, puis à la remplacer dans l’autre pour n’obtenir qu’une équation à une variable.
• Équations E1 et E2 : Deux équations sont notées (E1) et (E2) pour organiser les étapes de calcul du système.
• Solution unique : Le système admet une unique solution quand les étapes mènent à un seul couple (x;y) vérifiant les deux équations.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple (E1) 3x+y=14 et (E2) 7x-4y=1, on isole y dans (E1) pour obtenir y=14-3x.
• On remplace y=14-3x dans (E2), ce qui donne 7x-4(14-3x)=1 puis 19x-56=1 et x=3.
• On calcule ensuite y=14-3×3=5, donc S={(3;5)} et le couple (3;5) est la solution unique.

📖 6. Pente, ordonnée et parallélisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Pente d’une droite : La pente (ou coefficient directeur) d’une droite y=mx+p est m, c’est-à-dire le facteur de x dans l’équation réduite.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine d’une droite y=mx+p est p, c’est-à-dire la valeur de y quand x=0.
• Droites parallèles : Deux droites sont parallèles quand elles ont la même pente dans les équations réduites y=mx+p et y=m'x+p'.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé, la pente d’une droite d d’équation réduite y=mx+p est égale à m.
• Deux droites y=mx+p et y=m'x+p' sont parallèles si et seulement si m=m'.
• Deux droites y=mx+p et y=m'x+p' sont sécantes si et seulement si m≠m'.

📊 Tableaux de synthèse

Parallélisme et sécance selon les pentes

Conditions sur m	Conséquence	Équations concernées
m=m'	Droites parallèles	y=mx+p et y=m'x+p'
m≠m'	Droites sécantes	y=mx+p et y=m'x+p'

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Multiplier une équation par un facteur modifie l’expression mais ne doit pas faire croire à de nouvelles solutions tant que c’est fait correctement sur toute l’équation.
2. Oublier que l’équation réduite y=mx+p n’est valable que pour une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
3. Confondre pente et ordonnée à l’origine : dans y=mx+p, m est la pente et p est l’ordonnée à l’origine.
4. Penser qu’une droite ax+by+c=0 permet toujours d’exprimer y en fonction de x : si b=0, on obtient plutôt x constant et la droite est parallèle à l’axe des ordonnées.
5. Prendre un vecteur directeur nul : un vecteur directeur doit être non nul, sinon il ne définit pas une direction.
6. Croire que colinéarité est automatique entre deux vecteurs : elle se vérifie (par exemple via un facteur multiplicatif) comme dans l’exemple.

✅ Checklist Examen

1. Écrire un système linéaire de deux équations à deux inconnues sous la forme {ax+by=c ; a'x+b'y=c'}.
2. Identifier qu’un couple (x;y) est une solution uniquement s’il vérifie simultanément les deux équations.
3. Reconnaître quand deux systèmes sont équivalents via la multiplication de tous les coefficients d’une équation par un même facteur.
4. Transformer une équation cartésienne ax+by+c=0 en équation réduite y=mx+p quand b≠0.
5. Calculer m=-a/b et p=-c/b à partir de ax+by+c=0 avec b≠0.
6. Trouver un vecteur directeur u=(-b;a) pour ax+by+c=0 et vérifier qu’il est non nul.
7. Utiliser que y=mx+p admet un vecteur directeur u=(1;m) et que des vecteurs directeurs colinéaires conviennent.
8. Passer d’une équation cartésienne -4x+2y+1=0 à une équation réduite puis en déduire m et un vecteur directeur (1;2).
9. Appliquer la méthode de substitution : isoler une inconnue puis remplacer dans l’autre équation.
10. Conclure à partir de l’exemple de substitution que le système admet une solution unique (3;5).
11. Calculer la pente m à partir de l’équation réduite y=mx+p.
12. Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes en comparant leurs pentes m et m'.