Lernzettel: Introduction aux taux de variation et tangentes

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation
2. Signe du taux de variation
3. Nombre dérivé en un point
4. Tangente à la courbe

📖 1. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation d’une fonction entre deux abscisses a et b est la mesure du changement moyen de f, donnée par un quotient de différences.
• Droite sécante : La droite (AB) sécante à la courbe entre deux points d’abscisses a et b a une pente égale au taux de variation correspondant.
• Fonction affine : Une fonction affine de la forme f(x)=mx+p a un taux de variation constant entre deux nombres distincts de son domaine.

📝 Points essentiels

• Pour a et b distincts appartenant à I, le taux de variation vaut (f(b)-f(a))/(b-a).
• Le coefficient directeur de la sécante (AB) est égal à (f(b)-f(a))/(b-a) dans le repère où A a pour abscisse a et B pour abscisse b.
• Si f(x)=mx+p est affine sur R, alors son taux de variation entre deux réels distincts est constant et vaut m.

📖 2. Signe du taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction croissante sur un intervalle I vérifie que ses valeurs augmentent quand l’abscisse augmente sur I.
• Fonction décroissante : Une fonction décroissante sur un intervalle I vérifie que ses valeurs diminuent quand l’abscisse augmente sur I.

📝 Points essentiels

• Si f est croissante sur I, alors pour a et b distincts dans I, le taux de variation entre a et b est positif.
• Si f est décroissante sur I, alors pour a et b distincts dans I, le taux de variation entre a et b est négatif.

📖 3. Nombre dérivé en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivable en a : Une fonction est dérivable en a si le taux de variation (f(a+h)-f(a))/h admet une limite unique quand h tend vers 0.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en a est la limite unique du taux de variation quand h tend vers 0, notée f'(a).
• Coefficient directeur de la tangente : Le coefficient directeur de la tangente en un point de coordonnées (a ; f(a)) vaut le nombre dérivé f'(a).

📝 Points essentiels

• Si h≠0 et a+h appartient à I, on étudie (f(a+h)-f(a))/h lorsque h tend vers 0 pour définir la dérivabilité en a.
• La tangente au point A(a ; f(a)) est la droite de coefficient directeur f'(a) passant par A.
• Si la limite existe, on note le nombre dérivé f'(a).

📖 4. Tangente à la courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à la courbe : La tangente à la courbe en A(a ; f(a)) est la droite passant par A et ayant pour pente le nombre dérivé f'(a).
• Équation de la tangente : L’équation réduite de la tangente s’écrit en utilisant f'(a) et f(a) pour relier x et y.

📝 Points essentiels

• La tangente au point A(a ; f(a)) a pour équation réduite : y = f'(a)(x-a) + f(a).
• Le facteur de (x-a) dans l’équation de la tangente est précisément f'(a), donc la pente de la tangente vaut f'(a).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le taux de variation (f(b)-f(a))/(b-a) avec la dérivée f'(a, qui correspond à une limite quand h tend vers 0).
2. Inverser le signe : une fonction croissante donne un taux de variation positif, alors qu’une fonction décroissante donne un taux de variation négatif.
3. Oublier la condition b≠a dans le taux de variation, car sinon le dénominateur b-a devient nul.
4. Utiliser une valeur de h égale à 0 dans le taux de variation (f(a+h)-f(a))/h, alors que h doit être non nul.
5. Dire que la tangente a pour équation y=f'(a)(x-a) sans ajouter f(a), alors que le point de passage impose +f(a).
6. Confondre le point A : il a pour coordonnées (a ; f(a)) et non (a ; f(h)) ou (h ; f(a)).

✅ Checklist Examen

1. Calculer le taux de variation entre deux abscisses a et b à partir de (f(b)-f(a))/(b-a).
2. Relier le taux de variation à la pente de la sécante passant par les points de la courbe d’abscisses a et b.
3. Déterminer le signe du taux de variation lorsque f est croissante sur l’intervalle considéré.
4. Déterminer le signe du taux de variation lorsque f est décroissante sur l’intervalle considéré.
5. Énoncer la condition de dérivabilité en a via la limite de (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0.
6. Donner l’écriture du nombre dérivé en un point : f'(a) comme limite unique.
7. Écrire la description géométrique : la tangente en A(a ; f(a)) a pour coefficient directeur f'(a).
8. Établir l’équation de la tangente en utilisant y = f'(a)(x-a) + f(a).
9. Vérifier que la pente de la tangente est bien f'(a) en lisant le coefficient de (x-a).
10. Identifier correctement les coordonnées du point où la tangente est tracée : (a ; f(a)).