Lernzettel: Introduction aux Trinomès du Second Degré

📋 Plan du Cours

1. Définition du trinôme du second degré
2. Parabole et sens d’ouverture
3. Forme factorisée du trinôme
4. Racines, signe et courbe
5. Somme et produit des racines

📖 1. Définition du trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Trinôme du second degré désigne toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\neq 0$.
• Forme développée : La forme $ax^2+bx+c$ est appelée forme développée de la fonction polynôme du second degré.
• Courbe du trinôme : La courbe représentative d’une fonction trinôme est appelée une parabole.

📝 Points essentiels

• Une fonction est un trinôme du second degré sur $\mathbb{R}$ si elle s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• La forme $ax^2+bx+c$ correspond à la forme développée de $f$.
• Les termes $a,b,c$ sont des réels et l’exemple $f_3(x)=\frac{5}{x^2}+4x+3$ n’est pas un polynôme car il contient un terme en $1/x^2$.
• Une fonction affine comme $4x+5$ n’est pas un trinôme du second degré car elle ne contient pas de $x^2$.
• La fonction carré $x^2$ correspond au cas $a=1$, $b=0$, $c=0$.

💡 Astuce mémo

Parabole = graphe d’un trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.

📖 2. Parabole et sens d’ouverture

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole tournée vers le haut : Une parabole est dite tournée vers le haut quand elle est associée à un coefficient $a>0$ dans l’expression $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Parabole tournée vers le bas : Une parabole est dite tournée vers le bas quand elle est associée à un coefficient $a<0$ dans l’expression $f(x)=ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut.
• Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas.
• Le lien entre le signe de $a$ et le sens d’ouverture est annoncé comme une propriété démontrée plus tard dans le chapitre 4.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ = sens d’ouverture : $+$ vers le haut, $-$ vers le bas.

📖 3. Forme factorisée du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : La forme factorisée d’un polynôme du second degré est une écriture de la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\neq 0$ et $x_1,x_2\in\mathbb{R}$.
• Racines : Les racines d’une fonction $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ sont les valeurs de $x$ qui annulent $f$, donc les solutions de $f(x)=0$.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\neq 0$, alors les solutions de $f(x)=0$ sont $x_1$ et $x_2$ (éventuellement égales).
• Factoriser permet aussi d’étudier le signe de $f$ (pas seulement de résoudre $f(x)=0$).
• Pour $f(x)=2x^2-6x-8$, on obtient $f(x)=2(x-4)(x+1)$ en identifiant une forme factorisée.
• Cas double : si $x_1=x_2$, alors la parabole coupe l’axe des abscisses en 1 point.
• Cas distincts : si $x_1\neq x_2$, la parabole coupe l’axe des abscisses en 2 points.

💡 Astuce mémo

Factorisé $a(x-x_1)(x-x_2)$ : $x_1$ et $x_2$ sont là où ça vaut 0.

📖 4. Racines, signe et courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signes : Un tableau de signes organise le signe de $f(x)$ selon les intervalles découpés par ses racines.
• Allure de la courbe : L’allure d’une courbe de trinôme se décrit à partir du sens d’ouverture et du nombre de points d’intersection avec l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=2x^2-6x-8$, les racines sont $4$ et $-1$ et donc $f(x)=0$ équivaut à $x=4$ ou $x=-1$.
• Le signe de $f$ se lit à partir de $(x-4)(x+1)$ : $f(x)$ est positive avant de l’annuler puis négative entre les racines selon l’ordre des valeurs.
• Si $a>0$ et $x_1\neq x_2$, la parabole tournée vers le haut coupe l’axe des abscisses en 2 points.
• Si $a<0$ et $x_1\neq x_2$, la parabole tournée vers le bas coupe l’axe des abscisses en 2 points.
• Si $a>0$ et $x_1=x_2$, la parabole tournée vers le haut coupe l’axe des abscisses en 1 point.
• Si $a<0$ et $x_1=x_2$, la parabole tournée vers le bas coupe l’axe des abscisses en 1 point.

💡 Astuce mémo

Deux racines distinctes → 2 intersections ; racine double → 1 intersection.

📖 5. Somme et produit des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des racines : La somme des racines $x_1+x_2$ d’un trinôme $ax^2+bx+c$ s’exprime à partir de $a$ et $b$ via une relation précise.
• Produit des racines : Le produit des racines $x_1x_2$ d’un trinôme $ax^2+bx+c$ s’exprime à partir de $a$ et $c$ via une relation précise.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, alors $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
• Si $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, alors $x_1x_2=\frac{c}{a}$.
• Un trinôme $ax^2+bx+c$ est factorisable si et seulement si le système ${y+z=-b/a;; y\times z=c/a}$ admet exactement deux couples symétriques solutions.
• À partir des égalités $b=-a(x_1+x_2)$ et $c=a x_1x_2$, on déduit la cohérence de la factorisation à partir des racines.

💡 Astuce mémo

Somme = $-b/a$, Produit = $c/a$ : ça vient de l’expansion de $a(x-x_1)(x-x_2)$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction polynôme du second degré et expression rationnelle : $\frac{5}{x^2}+4x+3$ n’est pas un polynôme à cause de $1/x^2$.
2. Croire qu’une fonction affine comme $4x+5$ est un trinôme : elle n’a pas de terme $x^2$, donc $a=0$.
3. Oublier la condition $a\neq 0$ dans la définition : sans cela, on ne parle plus de second degré.
4. Interpréter les racines comme celles de la forme développée sans tenir compte de la forme factorisée : les racines viennent de $f(x)=0$, donc de $a(x-x_1)(x-x_2)=0$.
5. Mélanger les formules : la somme vaut $-b/a$ et le produit vaut $c/a$, pas l’inverse.
6. Penser qu’une racine double donne 2 intersections : si $x_1=x_2$, la parabole coupe l’axe en 1 point seulement.
7. Croire que résoudre $f(x)=0$ est le seul usage de la factorisation : elle sert aussi à dresser le tableau de signes.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître un trinôme du second degré sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Savoir dire pourquoi une expression avec $1/x^2$ ou une fonction affine n’est pas un trinôme du second degré.
3. Donner le sens d’ouverture de la parabole à partir du signe de $a$ dans $ax^2+bx+c$.
4. Savoir écrire une forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ quand elle est fournie ou déduite dans l’exercice.
5. Résoudre $f(x)=0$ à partir de la forme factorisée et donner $S={x_1;x_2}$ (avec éventuellement $x_1=x_2$).
6. Relier racines et intersections avec l’axe des abscisses : 2 points si $x_1\neq x_2$, 1 point si $x_1=x_2$.
7. Établir le signe de $f(x)$ via la factorisation en utilisant les intervalles définis par $x_1$ et $x_2$.
8. Associer correctement l’exemple $f(x)=2x^2-6x-8$ à ses racines $4$ et $-1$ et à la factorisation $2(x-4)(x+1)$.
9. Calculer la somme des racines avec $x_1+x_2=-b/a$ et le produit avec $x_1x_2=c/a$.
10. Savoir utiliser le système ${y+z=-b/a;; y\times z=c/a}$ pour décider si le trinôme est factorisable.