Lernzettel: Introduction aux variables aléatoires et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Univers, variable aléatoire et exemples
2. Loi de probabilité et tableau des valeurs
3. Espérance d’une variable aléatoire
4. Variance et écart-type comme indicateurs
5. Exercices sur variables aléatoires et calculs
6. Fonction dérivable et règles de dérivation
7. Dérivation de fonctions composées
8. Lien entre dérivée et variations
9. Extremum et condition sur la dérivée

📖 1. Univers, variable aléatoire et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers Ω : L’univers Ω est l’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Variable aléatoire X : Une variable aléatoire X est une fonction qui associe à chaque issue de Ω un nombre réel.
• Évènement {X ≥ 1} : Un évènement {X ≥ 1} est l’ensemble des issues pour lesquelles la valeur de X est au moins 1.
• Évènement {X = 0} : Un évènement {X = 0} est l’ensemble des issues pour lesquelles la valeur de X est exactement 0.

📝 Points essentiels

• Pour un dé à 10 faces, l’univers est Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
• Une variable aléatoire est une application X : Ω → ℝ.
• Dans l’exemple, X peut prendre les valeurs -1, 0, 1 et 2.
• L’évènement {X ≥ 1} regroupe les issues où le gain vaut 1 ou 2.
• L’évènement {X = 0} regroupe les issues où le gain vaut 0.

💡 Astuce mémo

Ω = « toutes les issues possibles » ; X = « on transforme une issue en nombre ».

📖 2. Loi de probabilité et tableau des valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : La loi de probabilité associe à chaque valeur possible de X sa probabilité, sous forme d’une fonction de ℝ vers [0,1].
• Tableau des valeurs : Un tableau des valeurs liste les valeurs prises par X et les probabilités correspondantes.

📝 Points essentiels

• La loi de probabilité est une fonction de ℝ vers [0,1] qui associe à chaque valeur de X sa probabilité.
• Si X prend des valeurs x1,…,xn, alors la somme des probabilités vaut 1.
• Dans l’exemple, p(X = -1) = 1/10, p(X = 0) = 1/2, p(X = 1) = 3/10, p(X = 2) = 1/10.
• Le tableau associe chaque xi à la probabilité p(X = xi).
• La condition de normalisation garantit que toutes les issues possibles sont comptées.

💡 Astuce mémo

Loi de probabilité = « probabilités par valeur » ; la somme fait 1.

📖 3. Espérance d’une variable aléatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance E(X) : L’espérance E(X) est la moyenne pondérée des valeurs prises par X par leurs probabilités.

📝 Points essentiels

• La formule est E(X) = Σ xi·pi, où pi = p(X = xi).
• Dans l’exemple, E(X) = -1·p(X=-1) + 0·p(X=0) + 1·p(X=1) + 2·p(X=2).
• Avec les probabilités de l’exemple, E(X) = -1·(1/10) + 1·(3/10) + 2·(1/10).
• Le résultat de l’exemple est E(X) = 2/5.
• Interprétation : l’espérance correspond à la valeur moyenne obtenue sur un grand nombre de répétitions.

💡 Astuce mémo

Espérance = somme des valeurs × probabilités (moyenne pondérée).

📖 4. Variance et écart-type comme indicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance V(X) : La variance V(X) mesure la dispersion en calculant la moyenne des carrés des écarts à l’espérance.
• Écart-type σ(X) : L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance, donc un indicateur de dispersion en unités de X.

📝 Points essentiels

• La variance s’écrit V(X) = Σ pi·(xi − E(X))^2.
• La variance peut aussi s’écrire comme somme des termes p1(x1−E(X))^2 + … + pn(xn−E(X))^2.
• L’écart-type est défini par σ(X) = √V(X).
• Plus V(X) ou σ(X) est grand, plus les valeurs de X s’éloignent de la moyenne.
• Interprétation : la variance est une moyenne de carrés d’écarts, l’écart-type en est la racine.

💡 Astuce mémo

Variance = « carrés des écarts » ; écart-type = « racine pour revenir à l’échelle ».

📖 5. Exercices sur variables aléatoires et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Évènement {G = -4} : L’évènement {G = -4} est l’ensemble des issues pour lesquelles la variable aléatoire G vaut -4.
• Évènement {G > 0} : L’évènement {G > 0} est l’ensemble des issues pour lesquelles la variable aléatoire G est strictement positive.
• Probabilité P(X ≤ 7) : P(X ≤ 7) est la somme des probabilités des valeurs de X qui sont inférieures ou égales à 7.
• Probabilité P(X < 5) : P(X < 5) est la somme des probabilités des valeurs de X strictement inférieures à 5.

📝 Points essentiels

• Exercice 1 : pour un dé à 6 faces, l’univers est Ω = {1,2,3,4,5,6}.
• Dans l’exercice 1, la variable aléatoire G peut prendre les valeurs 5 et -4.
• Dans l’exercice 1, les issues réalisant {G = -4} sont 1, 2, 4, 5.
• Dans l’exercice 1, les issues réalisant {G > 0} sont 3 et 6.
• Exercice 3 : P(X ≤ 7) = P(X=-2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=7) = 1 − P(X=10) = 0,96.
• Exercice 3 : P(X < 5) = P(X=-2)+P(X=3)+P(X=4) = 0,56.

💡 Astuce mémo

Pour P(conditions), on additionne les probabilités des valeurs de X qui vérifient la condition.

📖 6. Fonction dérivable et règles de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle admet une dérivée en tout point de I.
• Fonction dérivée f’ : La fonction dérivée f’ associe à chaque x de l’intervalle la valeur du nombre dérivé de f en x.
• Dérivée d’une constante : La dérivée d’une fonction constante est nulle sur tout l’intervalle où elle est définie.
• Dérivée de x^n : La dérivée de la fonction puissance x^n suit une règle de type puissance diminuée d’une unité.

📝 Points essentiels

• Dire que f est dérivable sur I signifie que f’(x) existe pour tout x de I.
• La dérivée est notée f’ et définie sur I par f’(x).
• Si f(x)=k, alors f’(x)=0 sur ℝ.
• Si f(x)=x^n, alors f’(x)=n·x^(n−1) sur ℝ.
• Si f(x)=1/x, alors f’(x)=−1/x^2 sur ℝ{0}.
• Si f(x)=√x, alors f’(x)=1/(2√x) sur ]0,+∞[ (avec domaine de définition indiqué).

💡 Astuce mémo

Constante → dérivée 0 ; puissance → on multiplie par l’exposant et on baisse l’exposant.

📖 7. Dérivation de fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée g(ax+b) : Une fonction composée est obtenue en remplaçant l’entrée de g par une expression affine ax+b.
• Règle de dérivation de la composée : La dérivée d’une composée g(ax+b) se calcule en multipliant a par la dérivée de g évaluée en ax+b.

📝 Points essentiels

• Si g est dérivable sur I et si ax+b reste dans I pour tout x d’un intervalle J, alors la composée est dérivable sur J.
• Pour f(x)=g(ax+b), on a f’(x)=a·g’(ax+b).
• L’intervalle J est choisi pour garantir que ax+b appartient bien à I.
• Exemple : pour f(x)=√(3x−2), on identifie g(t)=√t et t=3x−2.
• Dans l’exemple, la dérivation nécessite de multiplier par le coefficient de la partie affine (3) via la règle.

💡 Astuce mémo

Composée = « dériver g » puis « multiplier par le coefficient de ax+b ».

📖 8. Lien entre dérivée et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance : Une fonction est croissante sur un intervalle si ses valeurs ne diminuent pas quand x augmente.
• Décroissance : Une fonction est décroissante sur un intervalle si ses valeurs ne croissent pas quand x augmente.
• Fonction constante : Une fonction est constante sur un intervalle si elle garde la même valeur pour tout x de l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Théorème : f est croissante sur I si et seulement si f(x) ≥ 0 pour tout x de I.
• Théorème : f est décroissante sur I si et seulement si f(x) ≤ 0 pour tout x de I.
• Théorème : f est constante sur I si et seulement si f(x)=0 pour tout x de I.
• Le critère relie le signe de la dérivée aux variations de la fonction.
• Le sens « si et seulement si » signifie que le critère est à la fois nécessaire et suffisant.

💡 Astuce mémo

Signe de f’ : positif → monte, négatif → descend, nul → plat.

📖 9. Extremum et condition sur la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Un extremum est un maximum ou un minimum atteint par une fonction sur un intervalle.
• Maximum en a : Un maximum en a signifie que la valeur de la fonction en a est supérieure ou égale à toutes les valeurs sur l’intervalle.
• Minimum en a : Un minimum en a signifie que la valeur de la fonction en a est inférieure ou égale à toutes les valeurs sur l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Maximum en a : pour tout x de I, f(x) ≤ f(a).
• Minimum en a : pour tout x de I, f(x) ≥ f(a).
• Si f admet un extremum en a et si a n’est pas une borne de l’intervalle, alors f’(a)=0.
• La condition f’(a)=0 est nécessaire pour un extremum intérieur.
• La réciproque n’est pas vraie : f’(a)=0 ne garantit pas un extremum.

💡 Astuce mémo

Extremum intérieur → dérivée nulle ; mais dérivée nulle ≠ extremum assuré.

📊 Tableaux de synthèse

Règles de dérivation de base

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre univers Ω (issues) et variable aléatoire X (fonction qui associe un nombre).
2. Oublier la normalisation de la loi : la somme des probabilités des valeurs prises doit faire 1.
3. Calculer la variance sans utiliser E(X) (les écarts doivent être par rapport à l’espérance).
4. Se tromper de règle en dérivation : la dérivée de (u·v) n’est pas u’·v mais u’·v + u·v’.
5. Penser que f’(a)=0 suffit pour conclure à un extremum : la réciproque n’est pas vraie.
6. Appliquer la règle de composée sans vérifier que ax+b reste dans le domaine de g.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir Ω, X : Ω→ℝ, et interpréter des évènements du type {X ≥ 1} ou {X = 0}.
2. Savoir définir la loi de probabilité et utiliser la condition de somme des probabilités égale à 1.
3. Savoir calculer E(X) comme somme des xi pondérés par p(X=xi).
4. Savoir calculer V(X) avec (xi−E(X))^2 puis obtenir σ(X)=√V(X).
5. Savoir résoudre des questions de type P(X ≤ a) ou P(X < a) en additionnant les probabilités des valeurs concernées.
6. Savoir appliquer les règles de dérivation : constante, puissance, 1/x, √x, et les opérations (k·u, u+v, u·v, 1/v, u/v).
7. Savoir dériver une composée g(ax+b) en utilisant f’(x)=a·g’(ax+b) sous la condition de domaine.
8. Savoir relier le signe de la dérivée aux variations : croissante/décroissante/constante via le critère donné.
9. Savoir caractériser maximum/minimum par inégalités et utiliser la condition extremum intérieur ⇒ f’(a)=0, sans confondre avec la réciproque.