Les ensembles numériques et leur hiérarchie

📋 Plan du Cours

1. Nombres naturels ℕ
2. Nombres entiers ℤ
3. Nombres rationnels ℚ
4. Nombres décimaux D
5. Nombres réels ℝ
6. Nombres complexes ℂ
7. Inclusion des ensembles
8. Définition de ℝ
9. Propriétés de ℝ
10. Champ et ordre total
11. Valeur absolue |x|
12. Bornes et extrema

📖 1. Nombres naturels ℕ

🔑 Notions clés & Définitions

• ℕ (ensemble des nombres naturels) : Ensemble des nombres entiers non négatifs, défini comme {0, 1, 2, 3, ...}.
• ℤ (ensemble des nombres entiers) : Ensemble des nombres entiers, incluant les négatifs, défini comme {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Inclusion ⊂ et ⊆ :
  • ⊂ (inclusion stricte) : A ⊂ B signifie que A est un sous-ensemble de B, mais A ≠ B.
  • ⊆ (inclusion large) : A ⊆ B signifie que A est un sous-ensemble de B ou égal à B.

📝 Points essentiels

• ℕ est un sous-ensemble de ℤ : tous les naturels sont aussi des entiers, mais pas l'inverse.
• La différence entre ⊂ et ⊆ est fondamentale :
  • ⊂ implique une inclusion stricte, c’est-à-dire que A est contenu dans B mais A ≠ B.
  • ⊆ permet l’égalité, A peut être égal à B.
• Exemples :
  • 0 ∈ ℕ, 1 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ.
  • -1 ∈ ℤ, mais -1 ∉ ℕ.
  • ℕ ⊂ ℤ, mais ℕ ⊆ ℤ (l'inclusion est stricte).

💡 À retenir