Lernzettel: Les fractions rationnelles et leur simplification

📋 Plan du Cours

1. Nombres rationnels et écriture fractionnaire
2. Opérations sur fractions rationnelles
3. Simplification des fractions par divisibilité

📖 1. Nombres rationnels et écriture fractionnaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre rationnel s’écrit sous la forme $a/b$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs et $b\neq 0$.
• Écriture fractionnaire : Une écriture fractionnaire représente un nombre rationnel comme un quotient de deux entiers relatifs $a/b$ avec $b\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Les entiers relatifs incluent les nombres positifs, négatifs et 0.
• Un rationnel peut ne pas être décimal, par exemple $11/3$ ne donne pas une écriture décimale finie.
• Un rationnel peut s’écrire avec un dénominateur 1, par exemple $-7=-7/1$.

💡 Astuce mémo

Rationnel = fraction d’entiers : $a/b$ avec $b\neq 0$.

📖 2. Opérations sur fractions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de fractions : La somme de deux fractions rationnelles se calcule en utilisant une formule avec numérateur $ad+bc$ et dénominateur $bd$.
• Produit et quotient de fractions : Le produit et le quotient de deux fractions rationnelles se calculent avec des formules où les numérateurs et dénominateurs se multiplient (ou s’inversent pour le quotient).

📝 Points essentiels

• Pour $a/b+c/d$, on obtient $(ad+bc)/bd$ avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$.
• Pour $a/b-c/d$, on obtient $(ad-bc)/bd$ avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$.
• Pour $a/b\times c/d$, on obtient $ac/bd$ et pour $a/b\div c/d$, on obtient $ad/bc$ (tous les dénominateurs doivent être non nuls).

💡 Astuce mémo

Même dénominateur $bd$ pour $+$ et $-$ ; on multiplie en haut et en bas pour $\times$ ; on inverse pour $\div$.

📖 3. Simplification des fractions par divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Simplification : Simplifier une fraction consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un même facteur non nul.
• Critères de divisibilité : Les critères de divisibilité permettent de repérer des facteurs communs pour simplifier efficacement une fraction.

📝 Points essentiels

• $25/40$ se simplifie en divisant par $5$ : $25/40=(5\times5)/(5\times8)=5/8$.
• Une fraction négative se simplifie pareil : $-6/4=( -2\times3)/(2\times2)=-3/4$.
• On peut simplifier en factorisant le numérateur et le dénominateur pour faire apparaître un facteur commun.

💡 Astuce mémo

Facteur commun au numérateur et au dénominateur : on le “raye” des deux côtés.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $a/b\div c/d$ avec $a/b\div d/c$ : pour diviser, on multiplie par l’inverse de la deuxième fraction.
2. Oublier que les dénominateurs doivent être non nuls dans les formules ($b\neq 0$, $d\neq 0$, et aussi $c\neq 0$ pour le quotient).
3. Croire qu’un rationnel est forcément décimal : $11/3$ montre le contraire.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître un nombre rationnel sous la forme $a/b$ avec $b\neq 0$.
2. Calculer correctement $a/b+c/d$, $a/b-c/d$, $a/b\times c/d$ et $a/b\div c/d$ en respectant les conditions de non-nullité.
3. Simplifier une fraction en utilisant un facteur commun repéré par divisibilité (exemples du type $25/40$ et $-6/4$).
4. Identifier si une fraction donnée est décimale à partir de l’écriture fournie (exemples du type $a.7/5$ et $-1/9$).
5. Résoudre un problème de fraction de contenance en traduisant les consommations en fractions et en calculant la fraction restante.