Lernzettel: Les opérations fondamentales sur les fractions

📋 Plan du Cours

1. Définition de la fraction et vocabulaire
2. Fractions égales et simplification irréductible
3. Addition et soustraction avec même dénominateur
4. Multiplication de fractions et produit des termes
5. Division de fractions par multiplication de l’inverse

📖 1. Définition de la fraction et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Une fraction $\frac{a}{b}$ représente le quotient de $a$ par $b$, avec $b\neq 0$.
• Numérateur : Le numérateur est le nombre écrit en haut d’une fraction et indique combien de parts on prend.
• Dénominateur : Le dénominateur est le nombre écrit en bas d’une fraction et indique en combien de parts égales on a divisé l’unité.

📝 Points essentiels

• On lit « a sur b » pour la fraction $\frac{a}{b}$.
• Une fraction peut s’écrire de plusieurs façons (exemples : $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$).
• Une fraction est irréductible quand elle ne peut plus être simplifiée.

💡 Astuce mémo

Numérateur = parts prises ; dénominateur = parts de l’unité.

📖 2. Fractions égales et simplification irréductible

🔑 Notions clés & Définitions

• Fractions égales : Des fractions sont égales quand elles représentent le même quotient, même si numérateur et dénominateur changent.
• Simplification irréductible : Une simplification irréductible consiste à réduire une fraction jusqu’à ce que numérateur et dénominateur n’aient plus de diviseur commun.

📝 Points essentiels

• Multiplier ou diviser numérateur et dénominateur par le même nombre non nul ne change pas la valeur de la fraction.
• Pour simplifier, on utilise le PGCD du numérateur et du dénominateur.
• Exemple : $\frac{12}{18}=\frac{12\div 6}{18\div 6}=\frac{2}{3}$, et $2$ et $3$ sont premiers entre eux.

💡 Astuce mémo

Même facteur en haut et en bas : valeur inchangée.

📖 3. Addition et soustraction avec même dénominateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Même dénominateur : Deux fractions ont le même dénominateur quand elles partagent le même nombre écrit en bas.
• PPCM : Le PPCM est le plus petit commun multiple utilisé pour trouver un dénominateur commun lors de la mise au même dénominateur.

📝 Points essentiels

• Pour additionner ou soustraire, il faut d’abord avoir le même dénominateur.
• Règle : $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$ et $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$.
• Exemple : $\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur : on additionne/soustrait seulement les numérateurs.

📖 4. Multiplication de fractions et produit des termes

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de fractions : Le produit de deux fractions consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
• Inverse : L’inverse d’une fraction $\frac{c}{d}$ est la fraction $\frac{d}{c}$, obtenue en échangeant numérateur et dénominateur.

📝 Points essentiels

• Formule : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.
• On multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.
• Exemple : $\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0{,}3$.

💡 Astuce mémo

Multiplie en croix… mais sans croiser : numérateurs ensemble, dénominateurs ensemble.

📖 5. Division de fractions par multiplication de l’inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient de fractions : Le quotient $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$ se calcule en multipliant par l’inverse de la fraction $\frac{c}{d}$.
• Multiplication par l’inverse : Diviser par une fraction revient à multiplier par la fraction obtenue en retournant le numérateur et le dénominateur.

📝 Points essentiels

• Formule : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.
• On obtient aussi $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\times d}{b\times c}$.
• On « retourne » la fraction qui sert de diviseur pour la transformer en multiplicateur.

💡 Astuce mémo

Diviser = multiplier par l’inverse (retourner la fraction).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Oublier que le dénominateur doit être non nul ($b\neq 0$).
2. Additionner/soustraire sans mettre au même dénominateur.
3. Se tromper en division : diviser par une fraction n’est pas multiplier par son numérateur et son dénominateur sans inversion.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une fraction $\frac{a}{b}$ et identifier numérateur et dénominateur.
2. Savoir dire quand une fraction est irréductible et simplifier via le PGCD.
3. Savoir calculer une somme ou une différence de fractions avec même dénominateur en additionnant/soustrayant les numérateurs.
4. Savoir mettre deux fractions au même dénominateur en utilisant le PPCM puis simplifier le résultat.
5. Savoir multiplier deux fractions en multipliant numérateurs et dénominateurs.
6. Savoir diviser deux fractions en multipliant par l’inverse du diviseur et appliquer la formule correspondante.