Lernzettel: Les suites arithmétiques : définition et propriétés

📋 Plan du Cours

1. Définition et raison d’une suite arithmétique
2. Définition par récurrence et premier terme
3. Calcul des termes d’une suite arithmétique
4. Justifier qu’une suite est arithmétique
5. Représentation graphique et alignement des points
6. Sens de variation selon le signe de la raison

📖 1. Définition et raison d’une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est dite arithmétique si, en passant d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre.
• Raison de la suite : La raison est le nombre constant $r$ qu’on ajoute à chaque terme pour obtenir le terme suivant.
• Croissance linéaire : Une suite arithmétique correspond à une croissance linéaire, car l’écart entre deux termes consécutifs est constant.

📝 Points essentiels

• Dans une suite arithmétique, on a $u_{n+1}=u_n+r$ avec une raison $r$ constante.
• La raison $r$ peut être positive, nulle ou négative, ce qui détermine le sens de variation.
• Exemple de raison positive : $3,7,11,15,19,23$ a une raison $r=4$.
• Exemple de raison négative : $20,15,10,5,0$ a une raison $r=-5$.
• Un exemple non arithmétique est donné par $2;4;7;11;16;22$ car les écarts ne restent pas constants.
• Dans une suite arithmétique, chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du terme suivant : $u_n=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$.

💡 Astuce mémo

Raison = “+ toujours pareil” : même $r$ à chaque pas.

📖 2. Définition par récurrence et premier terme

🔑 Notions clés & Définitions

• Premier terme : Le premier terme est la valeur initiale donnée au rang de départ (souvent $u_5$ ou $u_6$) pour définir la suite.
• Définition par récurrence : Définir une suite par récurrence consiste à donner le premier terme puis une relation qui relie chaque terme au précédent.
• Relation de récurrence : La relation de récurrence d’une suite arithmétique exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et de la raison $r$.

📝 Points essentiels

• Une suite arithmétique est définie par un premier terme et une relation du type $u_{n+1}=u_n+r$.
• Exemple : $u_5=12$ et $u_{n+1}=u_n+3$ donne une suite arithmétique de raison $r=3$.
• Exemple : $v_6=2$ et $v_{n+1}=v_n-4$ donne une suite arithmétique de raison $r=-4$.
• Une relation du type $w_{n+1}=w_n\times 2$ n’est pas arithmétique car ce n’est pas une addition constante.
• Pour une suite arithmétique, la relation doit être exactement de la forme “+ $r$”, pas “×”.
• La donnée du premier terme fixe toute la suite une fois la raison $r$ connue.

💡 Astuce mémo

Récurrence arithmétique = départ + “+ $r$” (pas “×”).

📖 3. Calcul des termes d’une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul des termes : Calculer les termes consiste à produire $u_{n+1}$ à partir de $u_n$ en ajoutant la raison $r$.
• Terme suivant : Le terme suivant est obtenu en ajoutant la raison $r$ au terme courant.
• Tableau de valeurs : Un tableau de valeurs liste les termes pour plusieurs rangs afin de visualiser la progression.

📝 Points essentiels

• Pour obtenir les premiers termes, on ajoute $r$ au terme précédent à chaque étape.
• Exemple : suite de raison $7$ et premier terme $u_5=5$ donne $u_6=12$ puis $u_7=19$.
• La calculatrice peut aider à remplir un tableau de valeurs pour des rangs plus élevés.
• Dans un tableau, chaque colonne successive correspond à l’ajout de la même raison $r$.
• Le calcul repose sur l’égalité $u_{n+1}=u_n+r$ répétée autant de fois que nécessaire.
• Le rang de départ (comme $5$ ou $6$ dans les exemples) détermine à partir de quel terme on commence les additions.

💡 Astuce mémo

Recette : $u_{n+1}=u_n+r$ puis on répète.

📖 4. Justifier qu’une suite est arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Démonstration par différences : Justifier qu’une suite est arithmétique revient à vérifier que l’écart entre deux termes consécutifs est constant.
• Différence entre termes consécutifs : La différence $u_{n+1}-u_n$ mesure l’écart d’un terme au suivant et doit rester identique pour une suite arithmétique.
• Contre-exemple : Un contre-exemple est une suite pour laquelle les écarts ne sont pas constants, ce qui prouve qu’elle n’est pas arithmétique.

📝 Points essentiels

• Méthode : calculer trois termes consécutifs, par exemple $u_5,u_6,u_7$.
• Si $u_6-u_5=u_7-u_6$, on suspecte une suite arithmétique mais il faut prouver que l’écart reste constant pour tout $n$.
• Pour prouver, on calcule $u_{n+1}-u_n$ et on montre qu’il ne dépend pas de $n$.
• Si $u_6-u_5\neq u_7-u_6$, on peut conclure directement que la suite n’est pas arithmétique.
• Exemple arithmétique : $u_n=2n-3$ donne $u_5=-3$, $u_6=-1$, $u_7=1$ et une raison $r=2$.
• Exemple non arithmétique : $u_n=n^2-1$ donne $u_5=-1$, $u_6=0$, $u_7=3$ et des écarts différents ($1$ puis $3$).

💡 Astuce mémo

Écart constant : calcule $u_{n+1}-u_n$ et vérifie qu’il ne change pas.

📖 5. Représentation graphique et alignement des points

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Le nuage de points représente les couples $(n;u_n)$ pour visualiser la progression de la suite.
• Alignement des points : L’alignement signifie que les points $(n;u_n)$ suivent une même droite, ce qui correspond à une croissance linéaire.
• Conjecture graphique : Une conjecture graphique est une hypothèse formulée à partir de l’observation de la représentation (par exemple alignement ou non).

📝 Points essentiels

• Propriété : si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors les points $(n;u_n)$ sont alignés.
• Propriété réciproque : si les points représentant une suite sont alignés, alors la suite est arithmétique.
• Méthode : exploiter le graphique pour conjecturer une suite arithmétique en repérant une tendance linéaire.
• Pour estimer la raison sur le graphique, choisir deux points consécutifs et calculer $u_{n+1}-u_n$.
• Exemple : une suite de premier terme $u_5=1$ et de raison $r=0,5$ donne $u_6=1,5$, $u_7=2$, $u_8=2,5$ et les points sont alignés.
• Exemple d’application : les chiffres d’affaires du laboratoire A semblent alignés (progression arithmétique possible) tandis que ceux du laboratoire B ne sont pas alignés (pas arithmétique).

💡 Astuce mémo

Graphique : droite = suite arithmétique ; pente = raison.

📖 6. Sens de variation selon le signe de la raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Le sens de variation décrit si la suite augmente, diminue ou reste constante quand le rang augmente.
• Raison positive : Une raison positive correspond à des écarts $u_{n+1}-u_n$ positifs, donc à une augmentation des termes.
• Raison négative : Une raison négative correspond à des écarts $u_{n+1}-u_n$ négatifs, donc à une diminution des termes.
• Raison nulle : Une raison nulle correspond à des écarts $u_{n+1}-u_n$ nuls, donc à une suite constante.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, on a toujours $u_{n+1}-u_n=r$.
• Si $r\ge 0$, alors $u_{n+1}\ge u_n$ et la suite est croissante.
• Si $r\le 0$, alors $u_{n+1}\le u_n$ et la suite est décroissante.
• Si $r=0$, alors $u_{n+1}=u_n$ et la suite est constante.
• Exemple : raison $r=0,5$ implique une suite croissante.
• Exemple : raison $r=-7$ implique une suite décroissante.

💡 Astuce mémo

Signe de $r$ = signe de $u_{n+1}-u_n$ : + croît, − décroît, 0 constant.

📊 Tableaux de synthèse

Sens de variation selon la raison

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre une relation arithmétique $u_{n+1}=u_n+r$ avec une relation multiplicative $u_{n+1}=2u_n$ : ce n’est pas une suite arithmétique.
2. Croire qu’un simple égalité sur trois termes suffit sans preuve : il faut montrer que $u_{n+1}-u_n$ est constant pour tout $n$.
3. Conclure à tort qu’une suite est arithmétique parce que deux écarts semblent proches : il faut vérifier l’égalité des différences.
4. Sur un graphique, confondre “points presque alignés” et alignement : la propriété réciproque exige l’alignement des points.
5. Mauvaise lecture de la raison sur le nuage : la raison se calcule comme différence entre ordonnées de deux rangs consécutifs.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’une suite arithmétique et identifier la raison $r$.
2. Savoir écrire la définition par récurrence à partir du premier terme et de la raison.
3. Savoir calculer plusieurs termes successifs en appliquant $u_{n+1}=u_n+r$.
4. Savoir justifier qu’une suite est arithmétique en calculant $u_{n+1}-u_n$ et en montrant que c’est constant (ou conclure par différence non constante).
5. Savoir utiliser un graphique : reconnaître l’alignement et en déduire qu’une suite est arithmétique, puis estimer la raison par $u_{n+1}-u_n$.
6. Savoir déterminer le sens de variation à partir du signe de $r$ : croissante, décroissante ou constante.