Lernzettel: Limite et continuité

📋 Plan du Cours

1. Continuité en un point
2. Continuité sur un intervalle
3. Opérations et fonctions continues
4. Images des intervalles
5. Théorème des valeurs intermédiaires
6. Fonction réciproque
7. Racine n-ième
8. Méthode de dichotomie

📖 1. Continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue au point x₀ si $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
• Continuité à droite : Une fonction f est continue à droite en x₀ si $\lim_{\substack{x\to x_0\\x>x_0}}f(x)=f(x_0)$.
• Continuité à gauche : Une fonction f est continue à gauche en x₀ si $\lim_{\substack{x\to x_0\\x<x_0}}f(x)=f(x_0)$.

★ À maîtriser

• Une fonction est continue en x₀ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en x₀, c’est-à-dire si les deux limites latérales sont égales à f(x₀).

Compléments

• Pour une fonction définie par morceaux, l’étude de la continuité en un point consiste à calculer la limite correspondante et à la comparer avec la valeur de la fonction en ce point.

📖 2. Continuité sur un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle ouvert si elle est continue en chacun de ses points.

★ À maîtriser

• Sur un intervalle de la forme [a,b[, la continuité exige la continuité en tout point intérieur et la continuité à droite en a.

• Sur un intervalle fermé [a,b], la continuité exige la continuité sur ]a,b[, la continuité à droite en a et la continuité à gauche en b.

Compléments

• Pour étudier la continuité d’une fonction définie par morceaux, on justifie d’abord la continuité sur les sous-intervalles puis on vérifie séparément chaque point de raccordement.

📖 3. Opérations et fonctions continues

★ À maîtriser

• Les fonctions polynômes, constantes, rationnelles, racine carrée, exponentielles, trigonométriques et leurs compositions sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.

📌 Si f et g sont continues en a, alors f+g, fg, λf et |f| sont continues en a, pour tout réel λ.

📌 Si f est continue sur I et g est continue sur f(I), alors la composée g∘f est continue sur I.

Compléments

📌 Si f et g sont continues en a et si g(a)≠0, alors les fonctions 1/g et f/g sont continues en a.

• Si $\lim_{x\to x_0}u(x)=l$ et si v est continue en l, alors $\lim_{x\to x_0}v(u(x))=v(l)$.

📖 4. Images des intervalles

★ À maîtriser

• L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

📌 Si f est continue sur [a,b], alors f([a,b])=[m,M], où m et M sont respectivement le minimum et le maximum de f sur [a,b].

Compléments

• Pour f(x)=x²+1, strictement croissante sur [0,+∞[, on a f([1,2])=[2,5] et f([0,1[)=[1,2[.

• Pour déterminer l’image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone, on calcule les images des extrémités et les limites aux extrémités non incluses.

📖 5. Théorème des valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur un intervalle I et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c∈[a,b] tel que f(c)=k.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue et strictement monotone sur I, alors pour tout k∈f(I), l’équation f(x)=k admet une unique solution dans I.

Compléments

• L’équation x³−x+3=0 admet au moins une solution dans ]−2,0[, car le polynôme est continu, f(−2)=−3 et f(0)=3.

• Le théorème des valeurs intermédiaires permet d’étudier l’existence de solutions d’équations, certaines inéquations et le signe d’expressions continues.

💡 Astuce mémo

Continuité + encadrement des valeurs ⇒ solution intermédiaire

📖 6. Fonction réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réciproque : F⁻¹ de f est définie sur J=f(I) et vérifie $y=f(x)\Longleftrightarrow x=f^{-1}(y)$ pour x∈I et y∈J.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f(I) est un intervalle et f établit une bijection de I sur f(I).

• La fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone est continue et strictement monotone sur f(I), avec le même sens de monotonie.

Compléments

📐 Formule — Si f est dérivable en x₀ et si f′(x₀)≠0, alors f⁻¹ est dérivable en y₀=f(x₀) et $\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$.

📖 7. Racine n-ième

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Pour n≥1, la fonction x↦xⁿ est continue et strictement croissante sur ℝ₊, et sa réciproque est la fonction racine n-ième x↦√[n]{x}.

★ À maîtriser

• Pour x,y∈ℝ₊*, on a $y=x^n\Longleftrightarrow x=\sqrt[n]{y}$.

Compléments

📐 Formule — Pour a,b∈ℝ₊*, les propriétés des racines comprennent $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ et $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

📐 Formule — Pour a≥0 et n≥2, on a $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$.

📖 8. Méthode de dichotomie

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de dichotomie : La dichotomie est une méthode qui encadre progressivement une solution de f(x)=0 en divisant par deux un intervalle où f change de signe.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b], avec f(a)≤0 et f(b)≥0, alors l’équation f(x)=0 possède au moins une solution dans [a,b].

• À chaque étape, on pose le milieu m=(a+b)/2 ; si f(m)≤0, on conserve [m,b], sinon on conserve [a,m].

Compléments

📐 Formule — Après n étapes de dichotomie, l’intervalle [aₙ,bₙ] contenant une solution a une longueur $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}$.

• Pour approcher √10, on applique la dichotomie à f(x)=x²−10 sur [3,4], car f(3)≤0≤f(4), et après huit étapes on obtient 3,160≤√10≤3,165.

📊 Tableaux de synthèse

Continuité aux extrémités

Type d’intervalle	Condition intérieure	Condition aux extrémités
]a,b[	Continuité en tout point	Aucune extrémité incluse
[a,b[	Continuité sur ]a,b[	Continuité à droite en a
]a,b]	Continuité sur ]a,b[	Continuité à gauche en b
[a,b]	Continuité sur ]a,b[	À droite en a et à gauche en b