Lernzettel: Logarithme décimal : propriétés et résolution

📋 Plan du Cours

1. Définition du logarithme décimal
2. Fonction logarithme : variations et limites
3. Relation fondamentale du logarithme décimal
4. Propriétés du logarithme décimal
5. Résolution d’équations et inéquations avec logarithmes

📖 1. Définition du logarithme décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme décimal : Le logarithme décimal est la valeur $x$ telle que $10^x=b$ pour un réel $b>0$, notée $\log(b)$.
• Fonction log : La fonction logarithme décimal associe à tout $b>0$ le réel $\log(b)$ défini par $10^{\log(b)}=b$.

📝 Points essentiels

• Pour $b>0$, $\log(b)$ est l’unique solution de l’équation $10^x=b$.
• On a l’équivalence $x=\log(b) \Leftrightarrow 10^x=b$.
• Le domaine de la fonction $\log$ est $]0,+\infty[$ et l’image est $\mathbb{R}$.
• $\log(10)=1$ et $\log(1)=0$.
• Exemples : $\log(2)$ vérifie $10^{\log(2)}=2$ et $\log(0{,}02)$ vérifie $10^{\log(0{,}02)}=0{,}02$.

💡 Astuce mémo

Penser à l’égalité clé : $10^{\log(b)}=b$ (le log “défait” la puissance de base 10).

📖 2. Fonction logarithme : variations et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance de $\log$ : La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.
• Asymptote verticale : La courbe de $y=\log(x)$ admet une asymptote verticale en $x=0$.

📝 Points essentiels

• Sur $]0,+\infty[$, si $a<b$ alors $\log(a)<\log(b)$.
• On a $\lim_{x\to+\infty} \log(x)=+\infty$.
• On a $\lim_{x\to 0^+} \log(x)=-\infty$.
• La droite $x=0$ est une asymptote verticale pour $y=\log(x)$.
• Exemples de signe : $\log(1{,}2)\ge 0$ et $\log(0{,}5)\le 0$.

💡 Astuce mémo

Signe et ordre : $x>1 \Rightarrow \log(x)\ge 0$ et $0<x<1 \Rightarrow \log(x)\le 0$.

📖 3. Relation fondamentale du logarithme décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation fondamentale : La relation fondamentale relie le logarithme d’un produit à la somme des logarithmes : $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$.
• Transformation produit→somme : Le logarithme décimal transforme un produit en une somme de logarithmes.

📝 Points essentiels

• Pour $a>0$ et $b>0$, $\log(a\times b)=\log(a)+\log(b)$.
• La relation s’écrit aussi comme une règle de calcul : $\log(ab)$ se décompose en somme.
• Cette règle s’applique uniquement si $a>0$ et $b>0$.
• Exemple d’usage : $\log(2-\sqrt2)+\log(2+\sqrt2)$ se simplifie en utilisant un produit sous le log.
• Exemple d’usage : $\log(10^3)+\log\left(\frac{1}{5}\right)$ se simplifie en combinant les règles sur les puissances et les quotients.

💡 Astuce mémo

Produit sous le log → somme : $\log(ab)=\log a+\log b$.

📖 4. Propriétés du logarithme décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme du quotient : Le logarithme d’un quotient se transforme en différence : $\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)$ pour $a>0,b>0$.
• Logarithme d’une puissance : Le logarithme d’une puissance s’exprime par un multiple : $\log(a^n)=n\log(a)$ pour $a>0$ et $n\in\mathbb{N}$.

📝 Points essentiels

• Pour $a>0$, $\log\left(\frac{1}{a}\right)=-\log(a)$.
• Pour $a>0$ et $b>0$, $\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)$.
• Pour $a>0$ et $n\in\mathbb{N}$, $\log(a^n)=n\times\log(a)$.
• Pour $a>0$ et tout réel $x$ tel que l’expression ait un sens, $\log(a^x)=x\log(a)$ (règle de mise en facteur).
• Les simplifications demandées utilisent ces règles, par exemple $\log(2-\sqrt2)+\log(2+\sqrt2)$ et $\log(10^3)+\log\left(\frac{1}{5}\right)$.

💡 Astuce mémo

Quotient = différence, puissance = multiplicateur : $\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log a-\log b$ et $\log(a^n)=n\log a$.

📖 5. Résolution d’équations et inéquations avec logarithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation avec logarithmes : Une équation avec logarithmes se résout en utilisant les propriétés du logarithme pour transformer l’expression, puis en revenant à une forme exponentielle équivalente.
• Inéquation avec logarithmes : Une inéquation avec logarithmes se traite en utilisant la monotonie de $\log$ et les transformations algébriques pour obtenir une inéquation équivalente.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation du type $a^x=b$ (ou une forme équivalente), on peut passer par le logarithme décimal pour isoler $x$.
• Pour une inéquation du type $a^x<b$ (avec $a>0$), le sens dépend de la base $a$ et de la monotonie de la fonction exponentielle associée.
• Les exercices proposés portent sur des croissances/décroissances modélisées par des puissances de 1,04 et 0,95.
• Exemple a) : une consommation augmente de 4% par an à partir de 2019 et on cherche le nombre d’années pour doubler à partir de 150 milliards d’euros.
• Exemple b) : un prix baisse de 5% par an à partir de 1000 € et on cherche le premier moment où il devient inférieur à 800 €.

💡 Astuce mémo

Logarithmer sert à “débloquer” l’exposant : on transforme une puissance en expression où $x$ apparaît en facteur.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $\log(b)$ et $\log_{10}(b)$ : ici, le logarithme est bien en base 10.
2. Oublier le domaine : $\log(x)$ n’est défini que pour $x>0$, donc les arguments doivent rester positifs.
3. Inverser le sens dans une inéquation : la monotonie (croissance) de $\log$ et celle de l’exponentielle doivent être respectées.
4. Utiliser $\log(a^n)=n\log(a)$ avec un exposant non naturel : la règle donnée est pour $n\in\mathbb{N}$.
5. Appliquer la relation $\log(ab)=\log a+\log b$ alors que $a$ ou $b$ n’est pas strictement positif.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir $\log(b)$ comme l’unique solution de $10^x=b$ pour $b>0$.
2. Savoir interpréter $x=\log(b)$ comme l’équation équivalente $10^x=b$.
3. Calculer $\log(1)$ et $\log(10)$.
4. Décrire les variations : $\log$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ et relier $a<b$ à $\log(a)<\log(b)$.
5. Donner les limites : $\lim_{x\to+\infty}\log(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to0^+}\log(x)=-\infty$, et reconnaître l’asymptote verticale $x=0$.
6. Utiliser la relation fondamentale $\log(ab)=\log a+\log b$.
7. Utiliser les propriétés : $\log(1/a)=-\log a$, $\log(a/b)=\log a-\log b$, $\log(a^n)=n\log a$ (avec $n\in\mathbb{N}$), et $\log(a^x)=x\log a$ quand l’expression a un sens.
8. Simplifier des sommes de logarithmes en combinant produit/quotient et puissances, comme dans les exemples du cours.
9. Résoudre des équations et inéquations exponentielles en s’appuyant sur le logarithme décimal, notamment pour des problèmes de croissance/décroissance (doublage à 4% et seuil inférieur à 800 € à -5%).