Lernzettel: Logarithme népérien : définition et propriétés essentielles

📋 Plan du Cours

1. Définition du logarithme népérien
2. Étude de la fonction ln
3. Propriétés algébriques de ln
4. Lien entre log et logarithme népérien
5. Dérivée et primitives de ln(u
6. Fiche mémo sur ln et ses formules

📖 1. Définition du logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien de $a>0$ est le réel $x$ qui vérifie $e^x=a$, noté $\ln a$.
• Fonction logarithme népérien : La fonction $\ln$ associe à tout $a>0$ l’unique solution de $e^x=a$, donc $\ln: ]0,+\infty[\to\mathbb{R}$.
• Équation $e^x=a$ : L’équation $e^x=a$ relie l’exponentielle et le logarithme : sa solution est $x=\ln a$ pour $a>0$.
• Domaine de $\ln$ : Le logarithme népérien n’est défini que pour les réels strictement positifs, donc sur $]0,+\infty[$.

📝 Points essentiels

• Pour tout $a>0$, il existe une unique valeur réelle $x$ telle que $e^x=a$ et cette valeur est $\ln a$.
• On a l’équivalence $e^x=a \iff x=\ln a$ pour $a>0$.
• La fonction $\ln$ est définie sur $]0,+\infty[$ et à valeur dans $\mathbb{R}$.
• Exemple : si $e^x=5$ alors $x=\ln 5\approx 1{,}61$.
• Exemple : résoudre $e^x=7$ revient à calculer $x=\ln 7$.
• Exemple : résoudre $\ln(x)=4$ revient à écrire $x=e^4$.

💡 Astuce mémo

Pensez à l’inversion : $\ln$ “défait” l’exponentielle $e^x$.

📖 2. Étude de la fonction ln

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction $\ln$ : La fonction $\ln$ est la fonction définie sur $]0,+\infty[$ qui transforme un réel positif en son logarithme népérien.
• Dérivabilité de $\ln$ : La fonction $\ln$ est dérivable sur tout $]0,+\infty[$.
• Asymptote verticale de $\ln$ : La courbe de $y=\ln x$ admet une asymptote verticale en $x=0$.
• Sens de variation de $\ln$ : Le sens de variation décrit comment $\ln x$ évolue quand $x$ augmente sur son domaine.

📝 Points essentiels

• Pour tout $x>0$, on a $\left(\ln x\right)'=\dfrac{1}{x}$.
• La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.
• On a $\lim_{x\to+\infty}(\ln x)=+\infty$.
• On a $\lim_{x\to 0^+}(\ln x)=-\infty$.
• La droite $x=0$ est une asymptote verticale pour la courbe $y=\ln x$.
• Si $a>0$ et $b>0$ avec $a<b$, alors $\ln a<\ln b$.

💡 Astuce mémo

Croissance + asymptote : quand $x\uparrow$, $\ln x\uparrow$ ; quand $x\downarrow 0^+$, $\ln x\downarrow -\infty$.

📖 3. Propriétés algébriques de ln

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation fondamentale du logarithme : La relation fondamentale relie le logarithme d’un produit à la somme des logarithmes : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.
• Logarithme d’un quotient : Le logarithme d’un quotient s’obtient en soustrayant les logarithmes : $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$.
• Logarithme d’une puissance entière : Le logarithme d’une puissance entière s’écrit comme un multiple : $\ln(a^n)=n\,\ln a$ pour $n\in\mathbb{N}$.
• Logarithme de la racine : Le logarithme de $\sqrt{a}$ se relie à $\ln a$ par un facteur $\tfrac12$ : $\ln(\sqrt{a})=\tfrac12\ln a$.

📝 Points essentiels

• Pour tout $a>0$ et $b>0$, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.
• Pour tout $a>0$, $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln a$.
• Pour tout $a>0$ et $b>0$, $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$.
• Pour tout $a>0$ et $n\in\mathbb{N}$, $\ln(a^n)=n\,\ln a$.
• Pour tout $a>0$, $\ln(\sqrt{a})=\dfrac12\ln a$.
• Ces formules découlent de la relation fondamentale et de la propriété d’égalité à une constante près via les primitives.

💡 Astuce mémo

Produit → somme ; quotient → différence ; puissance → multiplicateur.

📖 4. Lien entre log et logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme décimal : Le logarithme décimal $\log$ est défini par $\log(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$ pour $x>0$.
• Logarithme de base 2 : Le logarithme de base 2 $\log_2$ est défini par $\log_2(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 2}$ pour $x>0$.
• Changement de base : Le passage entre bases se fait en divisant par le logarithme népérien de la base : $\log_b(x)=\dfrac{\ln x}{\ln b}$.
• Valeurs sur les puissances de la base : Pour des entiers $p$, les logarithmes de base $10$ ou $2$ transforment $10^p$ ou $2^p$ en $p$.

📝 Points essentiels

• Pour tout $x>0$, $\log(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$.
• Pour tout $p\in\mathbb{Z}$, $\log(10^p)=p$.
• Pour tout $x>0$, $\log_2(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 2}$.
• Pour tout $p\in\mathbb{Z}$, $\log_2(2^p)=p$.
• Exemple : écrire $\log 25$ en fonction de $\ln$ revient à utiliser $\log(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$.
• Exemple : convertir un logarithme de base 2 en $\ln$ utilise le facteur $\dfrac{1}{\ln 2}$.

💡 Astuce mémo

Base $b$ : $\log_b(x$) = $\ln(x)$ divisé par $\ln(b)$.

📖 5. Dérivée et primitives de ln(u

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de $\ln(u(x))$ : Si $u(x)>0$ et $u$ est dérivable, alors $\ln(u(x))$ est dérivable et sa dérivée s’exprime avec $u'(x)$ et $u(x)$.
• Règle de dérivation du quotient : La dérivée de $\ln(u(x))$ a la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$, donc un rapport entre dérivée et fonction.
• Primitive de $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ : Les primitives de $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ sont de la forme $\ln(u(x))+c$.
• Condition $u(x)>0$ : La condition $u(x)>0$ garantit que $\ln(u(x))$ est bien définie et donc dérivable sur l’intervalle considéré.

📝 Points essentiels

• Si $u$ est dérivable sur $I$ et $u(x)>0$ pour tout $x\in I$, alors $f(x)=\ln(u(x))$ est définie et dérivable sur $I$.
• Sous ces conditions, $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
• La dérivation de $\ln(u(x))$ s’obtient par composition : dérivée de $\ln$ multipliée par celle de $u$.
• Les primitives de $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ sont $F(x)=\ln(u(x))+c$ avec $c\in\mathbb{R}$.
• Exemple : pour $f(x)=\ln(x^2-5x+1)$, on calcule $f'(x)$ via $\dfrac{(x^2-5x+1)'}{x^2-5x+1}$.
• Exemple : pour $g(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$, une primitive est de la forme $\ln(x^2+1)+c$ (car $g$ correspond à $\dfrac{u'}{u}$).

💡 Astuce mémo

$\ln(u)$ : dérivée = $u'/u$ ; primitive inverse = $\ln(u)+c$.

📖 6. Fiche mémo sur ln et ses formules

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien $\ln$ : Le logarithme népérien $\ln$ est la fonction définie sur $]0,+\infty[$ qui associe à $a$ la solution de $e^x=a$.
• Dérivée de $\ln$ : La dérivée de $\ln x$ vaut $\dfrac{1}{x}$ pour $x>0$.
• Formule de produit : La formule de produit exprime $\ln(ab)$ comme somme : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.
• Formule de quotient : La formule de quotient exprime $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ comme différence : $\ln a-\ln b$.
• Limites de $\ln$ : Les limites décrivent le comportement de $\ln x$ quand $x$ tend vers $0^+$ ou vers $+\infty$.

📝 Points essentiels

• $\ln 1=0$.
• $\ln e=1$.
• $\ln(e^x)=x$ pour $x\in\mathbb{R}$.
• $e^{\ln x}=x$ pour $x\in\mathbb{R}^+$.
• $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ pour $a>0$ et $b>0$.
• $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$ pour $a>0$ et $b>0$.

💡 Astuce mémo

Repères : $\ln 1=0$, $\ln e=1$, et $\ln(e^x)=x$.

📊 Tableaux de synthèse

ln et log décimal

Fonction	Définition	Base
$\ln(x)$	$\ln(x)$	$e$
$\log(x)$	$\dfrac{\ln x}{\ln 10}$	$10$

ln et log base 2

Fonction	Définition	Base
$\ln(x)$	$\ln(x)$	$e$
$\log_2(x)$	$\dfrac{\ln x}{\ln 2}$	$2$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le domaine : $\ln x$ n’est défini que pour $x>0$, donc pas pour $x\le 0$.
2. Oublier la condition $u(x)>0$ dans la dérivation de $\ln(u(x))$ : sans elle, l’expression n’est pas définie.
3. Se tromper de sens dans les équivalences : $e^x=a$ donne $x=\ln a$, mais $\ln(x)=a$ donne $x=e^a$.
4. Mélanger les notations : $\log$ (décimal) n’est pas $\ln$ ; il faut diviser par $\ln 10$.
5. Erreur de signe sur le quotient : $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ et non $\ln a+\ln b$.
6. Confondre dérivée et primitive : la dérivée de $\ln x$ est $1/x$, tandis que la primitive de $1/x$ est $\ln|x|$ (ici le cours traite $\ln(u(x))$ avec $u(x)>0$).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir $\ln a$ comme solution unique de $e^x=a$ et utiliser $e^x=a \iff x=\ln a$.
2. Savoir calculer des valeurs simples : $\ln 1$, $\ln e$, $\ln(e^x)$ et $e^{\ln x}$.
3. Savoir donner la dérivée de $\ln x$ et le sens de variation (croissante sur $]0,+\infty[$).
4. Savoir utiliser les limites : $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ et $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ avec l’asymptote verticale $x=0$.
5. Savoir transformer des expressions avec les propriétés : produit, quotient, inverse, puissance entière, racine.
6. Savoir convertir $\log(x)$ et $\log_2(x)$ en fonction de $\ln$ via $\log(x)=\ln x/\ln 10$ et $\log_2(x)=\ln x/\ln 2$.
7. Savoir dériver $\ln(u(x))$ sous la condition $u(x)>0$ : $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
8. Savoir trouver des primitives de la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ : $\ln(u(x))+c$.
9. Savoir résoudre des équations et inéquations en utilisant la monotonie de $\ln$ et l’équivalence avec l’exponentielle.