Lernzettel: Maîtrise des fractions, pourcentages et équations

📋 Plan du Cours

1. Fractions et calculs
2. Pourcentages et évolutions
3. Équations du premier degré
4. Probabilités élémentaires
5. Fractions, décimaux et pourcentages

📖 1. Fractions et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Une fraction représente une ou plusieurs parts d’un tout.
• Numérateur : Le numérateur est le nombre de parts prises dans une fraction.
• Dénominateur : Le dénominateur indique en combien de parts égales le tout est divisé, et n’est jamais égal à 0.
• Inverse d’une fraction : L’inverse d’une fraction échange numérateur et dénominateur, ce qui permet de passer d’une division à une multiplication.

📝 Points essentiels

• Une fraction $\dfrac{a}{b}$ correspond à « $a$ parts sur $b$ » avec $b \ne 0$.
• Pour obtenir un décimal, on calcule la division numérateur par dénominateur (ex. $\dfrac{3}{4}=0,75$).
• On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre non nul (ex. $\dfrac{24}{18}=\dfrac{4}{3}$).
• Pour additionner : même dénominateur on additionne les numérateurs (ex. $\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{7}$).
• Pour additionner : dénominateurs différents on met au même dénominateur (ex. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$).
• Multiplier $\dfrac{a}{b}$ par $\dfrac{c}{d}$ donne $\dfrac{ac}{bd}$ puis on simplifie si possible (ex. $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{12}{10}=\dfrac{6}{5}$).

💡 Astuce mémo

Division par une fraction = multiplication par son inverse.

📖 2. Pourcentages et évolutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur vaut 100.
• Coefficient d’augmentation : Le coefficient d’augmentation correspond à 1 auquel on ajoute le pourcentage exprimé en centièmes.
• Coefficient de diminution : Le coefficient de diminution correspond à 1 auquel on soustrait le pourcentage exprimé en centièmes.

📝 Points essentiels

• Passer en nombre décimal revient à diviser par 100 (ex. $25\%=0,25$ et $70\%=0,70$).
• Calculer un pourcentage : on multiplie la valeur par $\dfrac{100}{t}$ où $t$ est le pourcentage (ex. $15\%$ de 200 vaut $200\times\dfrac{15}{100}=30$).
• Calculer une proportion : on divise le nombre de cas favorables par le total puis on multiplie par 100 (ex. $\dfrac{40}{160}=0,25$ donc 25%).
• Une hausse de 8% correspond au coefficient $1+\dfrac{8}{100}=1,08$ (ex. $250\times1,08=270$).
• Une baisse de 15% correspond au coefficient $1-\dfrac{15}{100}=0,85$ (ex. $400\times0,85=340$).

💡 Astuce mémo

Hausse : on ajoute au 1 ; baisse : on enlève au 1.

📖 3. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Une équation est une égalité qui contient une inconnue, souvent notée $x$.
• Résoudre une équation : Résoudre une équation consiste à déterminer la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
• Principe d’équivalence : Le principe d’équivalence énonce que toute transformation identique des deux côtés conserve l’ensemble des solutions.

📝 Points essentiels

• Résoudre $x+5=12$ consiste à faire une opération identique des deux côtés : on soustrait 5 et on obtient $x=7$.
• Pour une forme $ax+b=c$, on regroupe d’abord les constantes : on soustrait $b$ puis on divise par $a$ (ex. $3x+4=19$ donne $x=5$).
• Avec une équation contenant des fractions, on élimine les dénominateurs en multipliant (ex. $\dfrac{5}{x}=8$ donne $x=40$).

💡 Astuce mémo

Équation = équilibre : même opération à gauche et à droite.

📖 4. Probabilités élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : La probabilité quantifie les chances qu’un événement se produise.
• Événement impossible : Un événement impossible a une probabilité de 0.
• Événement certain : Un événement certain a une probabilité de 1.
• Cas favorables : Les cas favorables sont les issues qui réalisent l’événement étudié.
• Cas possibles : Les cas possibles sont l’ensemble des issues envisagées pour le même expérience.

📝 Points essentiels

• La probabilité $P(A)$ est comprise entre 0 et 1, avec 0 pour impossible et 1 pour certain.
• La formule est $P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas possibles}}{\text{nombre de cas favorables}}$ dans le cours, à utiliser telle quelle pour les calculs demandés.
• Avec un dé à 6 faces, la probabilité d’obtenir un 4 est $\dfrac{1}{6}$.
• Avec un dé à 6 faces, l’événement « nombre pair » a 2 cas favorables (2, 4, 6) et vaut $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
• Dans une urne de 5 rouges, 3 bleues, 2 vertes (10 au total), la probabilité de tirer une rouge est $\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$.
• Interpréter une proportion en probabilité : si une proportion vaut 0,3 ou 30%, alors la probabilité correspondante est 0,3 ou 30%.

💡 Astuce mémo

0 = impossible ; 1 = certain ; sur un dé à 6 faces, un résultat précis fait $\frac{1}{6}$.

📖 5. Fractions, décimaux et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation fraction → décimal : Transformer une fraction en décimal revient à effectuer la division du numérateur par le dénominateur.
• Transformation décimal → pourcentage : Transformer un décimal en pourcentage revient à le multiplier par 100.
• Lecture en probabilité : Une proportion peut être interprétée comme une probabilité lorsqu’on choisit un individu au hasard.

📝 Points essentiels

• Pour interpréter une proportion $\dfrac{18}{60}$ : on simplifie en $\dfrac{10}{3}$ puis on la met sous forme décimale 0,3 dans l’exemple.
• Dans l’exemple : $\dfrac{18}{60}=0,3$, puis on obtient 30% en transformant le décimal en pourcentage.
• La même valeur s’interprète en probabilité : la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit fumeuse est 0,3 ou 30%.
• Le lien opérationnel complet en enquête : fraction du nombre de cas favorables sur le total puis décimal puis pourcentage puis probabilité.

💡 Astuce mémo

Fraction → décimal → pourcentage → probabilité (même valeur sous quatre formes).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre numérateur et dénominateur : le dénominateur donne le nombre de parts du tout et ne vaut jamais 0.
2. Addition de fractions : avec des dénominateurs différents, on ne peut pas additionner directement les numérateurs sans mettre au même dénominateur.
3. Erreur de formule de pourcentage : il faut utiliser la multiplication donnée dans le cours pour calculer « t% de valeur ».
4. Mauvais sens pour les évolutions : une hausse utilise $1+\frac{p}{100}$ et une baisse utilise $1-\frac{p}{100}$.
5. Oublier le principe d’équivalence en équations : toute opération doit être faite des deux côtés.
6. En probabilités, confondre « cas favorables » et « cas possibles » lors du calcul de $P(A)$.
7. Interpréter une proportion : le décimal et le pourcentage correspondent à la même probabilité (0,3 = 30%).

✅ Checklist Examen

1. Écrire le rôle du numérateur et du dénominateur et rappeler que le dénominateur n’est pas nul.
2. Transformer une fraction en décimal par division (exercice-type : $\dfrac{3}{4}$).
3. Simplifier une fraction en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre (ex : $\dfrac{24}{18} \to \dfrac{4}{3}$).
4. Additionner deux fractions ayant le même dénominateur en additionnant les numérateurs.
5. Mettre des fractions de dénominateurs différents au même dénominateur puis additionner.
6. Multiplier deux fractions et simplifier le résultat (ex : $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{5}$).
7. Calculer une division par fraction en multipliant par l’inverse (ex : $\dfrac{3}{2}\div\dfrac{4}{5}$).
8. Passer d’un pourcentage à un décimal (ex : $70\% \to 0,70$).
9. Calculer « t% de quantité » avec la formule du cours (ex : 15% de 200).
10. Calculer une proportion à partir de « cas favorables sur total » puis donner le pourcentage.
11. Convertir une hausse de p% en coefficient puis appliquer sur une valeur (ex : +8%).
12. Convertir une baisse de p% en coefficient puis appliquer sur une valeur (ex : −15%).
13. Définir une équation et expliquer comment résoudre : chercher la valeur de $x$ qui rend l’égalité vraie.
14. Résoudre une équation du type $x+b=c$ en soustrayant/ajoutant comme dans l’exemple.