Lernzettel: Maîtrise des nombres complexes et formules trigonométriques

📋 Plan du Cours

1. Nombres complexes : définition et forme algébrique
2. Conjugué, opérations et calculs sur complexes
3. Plan complexe : affixe, module et argument
4. Forme trigonométrique et passage algébrique
5. Formule d’Euler et forme exponentielle
6. Règles de multiplication et division exponentielles
7. Formules trigonométriques d’addition et soustraction
8. Formules de duplication et linéarisation du cosinus

📖 1. Nombres complexes : définition et forme algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres complexes : Les nombres complexes forment l’ensemble noté ℂ, constitué des nombres de la forme z=a+ib avec a et b réels.
• Forme algébrique : La forme algébrique d’un complexe z=a+ib est l’écriture séparant la partie réelle a et la partie imaginaire b.
• Conjugué : Le conjugué d’un complexe z=a+ib est le nombre obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire, soit a−ib.
• Unité imaginaire i : L’unité imaginaire i est définie par la relation i²=-1, ce qui fixe les règles de calcul sur les complexes.

📝 Points essentiels

• Tout complexe s’écrit z=a+ib avec a,b∈ℝ et i²=-1.
• La notation z=a+ib désigne la forme algébrique de z.
• Le conjugué vérifie si z=a+ib alors \bar z=a−ib.
• Exemple : pour z1=3+2i et z2=5−4i, on obtient z1+z2=8−2i.
• Exemple : pour z1=3+2i et z2=5−4i, on obtient z1−z2=−2+6i.
• Exemple : pour z1=3+2i et z2=5−4i, on obtient z1×z2=23−2i.

💡 Astuce mémo

Conjugué = même réel, imaginaire opposée : a+ib → a−ib.

📖 2. Conjugué, opérations et calculs sur complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le conjugué d’un complexe z=a+ib est le nombre a−ib, utile pour simplifier des produits et des quotients.
• Produit de complexes : Le produit de deux complexes s’obtient en développant (a+ib)(c+id) puis en regroupant les parties réelle et imaginaire.
• Quotient de complexes : Le quotient z1/z2 se calcule en utilisant le conjugué du dénominateur pour rendre le dénominateur réel.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un quotient, on utilise la forme z1/z2 = (z1×\bar z2)/(z2×\bar z2).
• Le produit z2×\bar z2 donne un réel égal au carré du module de z2.
• Exemple du cours : z1 z2 = z1×\bar z2 /(z2\bar z2).
• Exemple : avec z1=3+2i et z2=5−4i, le cours illustre le passage au quotient via le conjugué.
• Le calcul de z1×z2 se fait par développement et utilisation de i²=-1.
• Le calcul de z1+z2 et z1−z2 se fait en additionnant ou soustrayant séparément les parties réelles et imaginaires.

💡 Astuce mémo

Quotient : on “rationalise” en multipliant par le conjugué du bas.

📖 3. Plan complexe : affixe, module et argument

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : L’affixe d’un point M(a;b) dans un repère orthonormal est le complexe z=a+ib associé au vecteur OM.
• Module : Le module d’un complexe z=a+ib est le réel |z|=√(a²+b²), distance à l’origine sur le plan complexe.
• Argument : L’argument d’un complexe z est un angle θ tel que z=|z|(cosθ+i sinθ).
• Forme trigonométrique : La forme trigonométrique d’un complexe s’écrit z=[|z|;θ] et correspond à z=|z|(cosθ+i sinθ).

📝 Points essentiels

• Dans le repère (O,\vec u,\vec v), si z=a+ib alors M(a;b) a pour affixe z.
• Le module vérifie |z|=√(a²+b²).
• La forme trigonométrique s’écrit z=|z|(cosθ+i sinθ).
• Le cours relie l’affixe d’un vecteur : si \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA} alors z_{\vec{AB}}=z_B−z_A.
• Exemple : avec zA=3+2i et zB=−1+i, on trouve z_{\vec{AB}}=−4−i.
• Exemple : avec zC=1−i et zD=5, on trouve z_{\vec{DC}}=−4−i, donc \vec{AB} et \vec{CD} sont colinéaires et ABCD est un parallélogramme.

💡 Astuce mémo

Module = √(a²+b²) ; argument = l’angle qui “fabrique” cos et sin.

📖 4. Forme trigonométrique et passage algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : La forme trigonométrique d’un complexe z est z=[|z|;θ], équivalente à z=|z|(cosθ+i sinθ).
• Passage algébrique : Le passage algébrique consiste à réécrire z=|z|(cosθ+i sinθ) sous la forme a+ib en identifiant les coefficients de 1 et de i.
• Passage trigonométrique : Le passage trigonométrique consiste à trouver |z| et un argument θ pour écrire z sous la forme |z|(cosθ+i sinθ).

📝 Points essentiels

• Si z=a+ib, alors |z|=√(a²+b²) et z=|z|(cosθ+i sinθ) pour un argument θ.
• Exemple : z1=1+i√3 a pour module |z1|=√(1+3)=2.
• Exemple : pour z1=1+i√3, le cours donne z1=2(cos(π/3)+i sin(π/3)) donc z1=[2;π/3].
• Exemple : z2=[2;π/4] signifie z2=2(cos(π/4)+i sin(π/4)).
• Exemple : cos(π/4)=√2/2 et sin(π/4)=√2/2, donc z2=√2+i√2.
• Le passage algébrique se fait en remplaçant cosθ et sinθ par leurs valeurs puis en regroupant la partie réelle et la partie imaginaire.

💡 Astuce mémo

Trigonométrique → algébrique : tu remplaces cosθ et sinθ, puis tu lis a et b.

📖 5. Formule d’Euler et forme exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule d’Euler : La formule d’Euler relie cosθ+ i sinθ à l’exponentielle complexe : cosθ+i sinθ = e^{iθ}.
• Exponentielle complexe : L’exponentielle complexe e^{iθ} est un complexe de module 1 dont un argument est θ.
• Forme exponentielle : La forme exponentielle d’un complexe z est z=|z|e^{iθ}, où θ est un argument de z.
• Argument : Un argument θ d’un complexe est un angle qui permet d’écrire z sous la forme |z|(cosθ+i sinθ).

📝 Points essentiels

• Pour tout θ∈ℝ, cosθ+i sinθ = e^{iθ}.
• Le nombre e^{iθ} a pour module 1 et pour argument θ.
• La forme exponentielle s’écrit z=|z|e^{iθ}.
• Exemple : e^{i0}=1.
• Exemple : e^{iπ/2}=i et e^{-iπ/2}=-i.
• Propriété admise : e^{iθ}×e^{iθ'}=e^{i(θ+θ')} et e^{iθ}/e^{iθ'}=e^{i(θ−θ')}.

💡 Astuce mémo

Euler : cos + i sin devient e^{iθ} (et inversement).

📖 6. Règles de multiplication et division exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit d’exponentielles : Le produit de deux exponentielles complexes additionne les arguments dans l’exponentielle.
• Division d’exponentielles : La division de deux exponentielles complexes soustrait les arguments dans l’exponentielle.
• Exponentielle complexe : Les règles de calcul sur e^{iθ} s’obtiennent directement grâce aux identités e^{iθ}×e^{iθ'}=e^{i(θ+θ')} et e^{iθ}/e^{iθ'}=e^{i(θ−θ')}.

📝 Points essentiels

• Pour tout θ,θ'∈ℝ, e^{iθ}×e^{iθ'}=e^{i(θ+θ')}.
• Pour tout θ∈ℝ, 1/e^{iθ}=e^{-iθ}.
• Pour tout θ,θ'∈ℝ, e^{iθ}/e^{iθ'}=e^{i(θ−θ')}.
• Exemple du cours : si z1=2−2i, on obtient z1=2√2 e^{iπ/4}.
• Exemple du cours : si z2=i−√3, on obtient z2=2 e^{i5π/6}.
• Exemple du cours : z1×z2=4√2 e^{i13π/12} et z2/z3 = e^{-iπ/3} (avec z3=\bar z2).

💡 Astuce mémo

Multiplication = + dans l’angle ; division = − dans l’angle.

📖 7. Formules trigonométriques d’addition et soustraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule cosinus (a−b) : La formule de cosinus pour la différence relie cos(a−b) à cos a, cos b, sin a et sin b.
• Formule sinus (a−b) : La formule de sinus pour la différence relie sin(a−b) à sin a, cos b, sin b et cos a.
• Formules d’addition : Les formules d’addition donnent cos(a+b) et sin(a+b) en fonction de cos a, sin a, cos b et sin b.
• Lien avec la forme exponentielle : Les formules d’addition et de soustraction peuvent être obtenues à partir de la formule d’Euler en identifiant parties réelle et imaginaire.

📝 Points essentiels

• cos(a−b)=cos a·cos b + sin a·sin b.
• sin(a−b)=sin a·cos b − sin b·cos a.
• cos(a+b)=cos a·cos b − sin a·sin b.
• sin(a+b)=sin a·cos b + sin b·cos a.
• Le cours justifie ces identités via e^{ia}×e^{ib}=e^{i(a+b)} puis identification des parties réelle et imaginaire.
• Exemple : cos(π/2−x)+cos(π/2+x)=2 cos(π/2) cos x=0.

💡 Astuce mémo

Différence : cos = coscos + sinsin ; sinus = sincos − sincos (avec un signe moins).

📖 8. Formules de duplication et linéarisation du cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Duplication du cosinus : La duplication exprime cos(2a) à partir de cos a et sin a, avec plusieurs formes équivalentes.
• Duplication du sinus : La duplication exprime sin(2a) à partir de sin a et cos a.
• Linéarisation du cosinus : La linéarisation réécrit cos²a et sin²a en fonction de cos(2a), ce qui simplifie les expressions trigonométriques.
• Primitive via linéarisation : La linéarisation permet de transformer une fonction trigonométrique en somme de termes intégrables facilement.

📝 Points essentiels

• cos(2a)=cos²a−sin²a.
• cos(2a)=1−2 sin²a.
• cos(2a)=2 cos²a−1.
• sin(2a)=2 sin a·cos a.
• Linéarisation : cos²a=(1+cos(2a))/2 et sin²a=(1−cos(2a))/2.
• Exemple : cos(π/8) est obtenu via cos(π/4)=2cos²(π/8)−1 puis choix du signe selon le cercle trigonométrique, donnant cos(π/8)=√(2+√2)/2.

💡 Astuce mémo

Duplication cos : cos(2a)=2cos²a−1 (puis tu isoles cos²a).

📊 Tableaux de synthèse

Addition vs soustraction des angles

Expression	Résultat	Signe clé
cos(a−b)	cos a·cos b + sin a·sin b	+ entre les deux produits
sin(a−b)	sin a·cos b − sin b·cos a	− devant le produit sin b·cos a
cos(a+b)	cos a·cos b − sin a·sin b	− entre les deux produits
sin(a+b)	sin a·cos b + sin b·cos a	+ entre les deux produits

Multiplication vs division exponentielles

Opération	Règle	Angle
Multiplication	e^{iθ}×e^{iθ'}=e^{i(θ+θ')}	+ (addition)
Division	e^{iθ}/e^{iθ'}=e^{i(θ−θ')}	− (soustraction)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre conjugué et opposé : le conjugué change seulement le signe de la partie imaginaire.
2. Oublier que i²=-1 lors du développement des produits (les signes des parties réelles/imaginaires changent).
3. Prendre un argument sans cohérence avec la forme trigonométrique : z=|z|(cosθ+i sinθ) doit reproduire a+ib.
4. Mélanger les règles exponentielles : multiplication correspond à + dans l’angle, division à −.
5. Se tromper de signe dans les formules trigonométriques (a−b vs a+b) : cos et sin n’ont pas le même motif de signes.
6. Pour cos(π/8), choisir le mauvais signe lors de la résolution : le cours impose le choix via le cercle trigonométrique.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition de ℂ et la forme algébrique z=a+ib avec i²=-1.
2. Savoir calculer somme, différence et produit de deux complexes à partir de leurs parties réelle et imaginaire.
3. Savoir utiliser le conjugué pour calculer un quotient z1/z2 en rendant le dénominateur réel.
4. Savoir associer affixe, module et argument à un complexe z=a+ib et écrire la forme trigonométrique z=[|z|;θ].
5. Savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (calcul de |z| puis écriture avec cosθ et sinθ).
6. Savoir passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique en remplaçant cosθ et sinθ et en regroupant a et b.
7. Savoir appliquer la formule d’Euler cosθ+i sinθ=e^{iθ} et écrire z=|z|e^{iθ}.
8. Savoir utiliser les règles e^{iθ}×e^{iθ'}=e^{i(θ+θ')} et e^{iθ}/e^{iθ'}=e^{i(θ−θ')} pour multiplier/diviser des exponentielles.
9. Savoir utiliser les formules d’addition et de soustraction pour cos(a±b) et sin(a±b).
10. Savoir appliquer les formules de duplication et de linéarisation : cos(2a), cos²a et sin²a, puis en déduire des simplifications et intégrations (primitive via linéarisation).