Lernzettel: Maîtrise du théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Triangle rectangle et théorème de Pythagore
2. Calcul d’un côté avec Pythagore en km
3. Calcul d’un côté avec Pythagore en cm
4. Cas non rectangle et impossibilité de conclure
5. Pythagore avec rectangle en B
6. Pythagore avec rectangle en F

📖 1. Triangle rectangle et théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Triangle qui possède un angle droit, ce qui permet d’utiliser une relation spécifique entre ses côtés.
• Théorème de Pythagore : Relation reliant les longueurs d’un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle, l’égalité de Pythagore est vérifiée.
• Pour un triangle rectangle ABC rectangle en A, on a la relation sur les carrés : BC^2 = AB^2 + AC^2.
• L’égalité de Pythagore relie directement les longueurs des côtés via leurs carrés.
• Si le triangle n’est pas rectangle, on ne peut pas conclure que l’égalité de Pythagore s’applique.

💡 Astuce mémo

Rectangle = Pythagore : angle droit ⇒ carrés compatibles.

📖 2. Calcul d’un côté avec Pythagore en km

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse BC : Côté opposé à l’angle droit dans le triangle rectangle ABC, ici noté BC.

📝 Points essentiels

• Avec le triangle ABC rectangle en A, on calcule BC à partir de BC^2 = AB^2 + AC^2.
• Application numérique : BC^2 = 40^2 + 30^2.
• On obtient BC^2 = 1600 + 900 = 2500.
• Donc BC = √2500 = 50 km.

💡 Astuce mémo

Carrés d’abord : 40^2 + 30^2 = 2500, puis racine.

📖 3. Calcul d’un côté avec Pythagore en cm

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle DEF rectangle en E : Triangle dont l’angle droit est en E, permettant d’écrire une égalité de Pythagore entre DF, ED et EF.

📝 Points essentiels

• Pour le triangle DEF rectangle en E, la relation est DF^2 = ED^2 + EF^2.
• Application numérique : 13^2 = 12^2 + EF^2.
• On obtient 169 = 144 + EF^2, puis EF^2 = 169 − 144.
• Donc EF = √25 = 5 cm.

💡 Astuce mémo

DF^2 = ED^2 + EF^2 : on isole EF^2 par soustraction.

📖 4. Cas non rectangle et impossibilité de conclure

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle non rectangle : Triangle qui ne possède pas d’angle droit, donc la relation de Pythagore n’est pas garantie.

📝 Points essentiels

• Si le triangle GHI n’est pas rectangle, on ne peut pas déterminer GH.
• L’absence de rectangle empêche d’utiliser l’égalité de Pythagore comme outil de calcul.
• Si on ne sait pas si le triangle ABC est rectangle ou non, on ne peut pas affirmer qu’il vérifie Pythagore.
• Sans relation sur les longueurs, on ne peut pas déterminer AB.

💡 Astuce mémo

Pas d’angle droit ⇒ pas de Pythagore ⇒ pas de calcul fiable.

📖 5. Pythagore avec rectangle en B

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle ABC rectangle en B : Triangle dont l’angle droit est en B, ce qui change le rôle de l’hypoténuse dans l’égalité de Pythagore.

📝 Points essentiels

• Si le triangle ABC est rectangle en B, on utilise AC^2 = BA^2 + BC^2.
• Application numérique : AC^2 = 24^2 + 32^2.
• On obtient AC^2 = 576 + 1024 = 1600.
• Donc AC = √1600 = 40 m.

💡 Astuce mémo

Angle droit en B : l’hypoténuse devient AC.

📖 6. Pythagore avec rectangle en F

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle DEF rectangle en F : Triangle dont l’angle droit est en F, permettant d’écrire une égalité de Pythagore avec DE, FE et FD.

📝 Points essentiels

• Pour le triangle DEF rectangle en F, la relation est DE^2 = FE^2 + FD^2.
• Application numérique : 75^2 = FE^2 + 45^2.
• On obtient 5625 = FE^2 + 2025, puis FE^2 = 5625 − 2025.
• Donc FE = √3600 = 60 m.

💡 Astuce mémo

Rectangle en F : DE^2 = FE^2 + FD^2, puis on isole FE^2.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’hypoténuse : elle dépend de l’emplacement de l’angle droit (A, B, E, F).
2. Appliquer Pythagore à un triangle non rectangle : l’égalité n’est alors pas justifiée.
3. Oublier que l’on calcule souvent d’abord un carré (ex. EF^2), puis seulement ensuite la racine.
4. Penser qu’on peut conclure sans savoir si le triangle est rectangle : sans angle droit, on ne peut pas déterminer les longueurs demandées.

✅ Checklist Examen

1. Savoir énoncer et utiliser la relation de Pythagore dans un triangle rectangle.
2. Savoir écrire la bonne égalité selon le point où se trouve l’angle droit (hypoténuse et côtés concernés).
3. Calculer un côté en km à partir de carrés (ex. BC = 50 km).
4. Calculer un côté en cm en isolant la bonne inconnue au niveau des carrés (ex. EF = 5 cm).
5. Reconnaître qu’un triangle non rectangle ou un triangle dont on ignore s’il est rectangle ne permet pas de conclure par Pythagore.
6. Calculer un côté quand le triangle est rectangle en B (ex. AC = 40 m).
7. Calculer un côté quand le triangle est rectangle en F (ex. FE = 60 m).